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TRENTE-SIXIÈME LEÇON. 
DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES : THÉORIE DE L’ÉQUATION 
DU PREMIER ORDRE 
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359. — Des équations différentielles : importance de leur rôle 
dans l’expression analytique des phénomènes. 
Revenons maintenant à l’étude d’une fonction quelconque y d’une 
variable x, pour chercher jusqu’à quel point se trouve déterminée et 
comment peut s’obtenir la suite de ses valeurs, quand on donne sa 
dérivée première y', ou seulement quelqu’une, y (n) , de ses dérivées 
suivantes y", y"', . .., en fonction non pas de sa variable indépen 
dante x seule, comme nous l’admettions jusqu’ici, mais plutôt de sa 
valeur actuelle y, ou de celles des dérivées successives y', y", . .., 
y(«-0, d’ordres moins élevés queou, enfin, de toutes ces quan 
tités à la fois, x, y, y r , . . ., y(' l ~ 1 K Alors la relation définissant y (n) , 
et qui contient, dans le cas le plus général, x, y, y', y", . . ., y (n ~‘ 
y( n \ s’appelle une équation différentielle : son ordre est l’ordre 
même, n, de la dérivée la plus élevée qui y figure. Nous la suppo 
serons, d’ordinaire, résolue par rapport à cette dérivée la plus élevée 
y w , ce que l’on pourra toujours regarder comme fait quand elle sera 
du premier degré en y; et nous admettrons que, mise ainsi sous la 
forme y {n) = y, y', y", • • •, ), elle ne fournisse, pour chaque 
qu une va- 
système, à considérer, de valeurs de x, y, y', . . ., y ( - n ~ 1 ', 
leur de y( n K Mais, quelquefois aussi, elle se trouvera implicite, c’est- 
à-dire non résolue par rapport à y {n) : si elle est cependant algébrique 
en y (n) , le degré le plus élevé auquel y w y figurera sera dit le degré 
de l’équation. Quoi qu’il en soit, algébrique ou transcendante, elle se 
décomposera, par sa résolution (générale ou seulement numérique), 
relative à y l ' n \ en autant d’équations différentielles, de la forme 
y{n) = f(x, y, y r , y", . . • qu’elle admettra de racines réelles. 
Dans tous les cas, intégrer l’équation, ce sera exprimer ou calculer 
les fonctions y qui la vérifient. 
On peut dès à présent entrevoir, par la réflexion qui a terminé le 
B. — IL Partie élémentaire. 12