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DE LEUR ROLE EN PHILOSOPHIE NATURELLE. iay 
360. — Équation différentielle du premier ordre : existence de l’intégrale 
générale et possibilité d’intégrales ou solutions singulières. 
Bornons-nous, dans cette Leçon, à l’équation du premier ordre et 
supposons-Ia même, d’abord, explicite, c’est-à-dire de la forme 
(O y' = f{*,y) ou dy—f{x,y)dx = o, 
/étant une fonction connue des deux variables x et y. Pour fixer les 
idées, nous regarderons la variable indépendante x comme une ab 
scisse, et sa fonction j comme l’ordonnée correspondante d’une courbe 
plane. 
Dans le cas le plus simple, une telle équation différentielle se ré 
duit à y'—f{x), ou à dy = f(x) dx ; elle signifie que y, ayant pour 
dérivée f{x), est la fonction primitive indéfinie ff{x) dx. Et une 
discussion faite, pour ce cas, dès le début du Calcul intégral (p. 3), 
nous a montré qu’une pareille équation détermine seulement, à chaque 
instant ou pour chaque valeur de x, la direction de la courbe cher 
chée, en sorte qu’elle permet d’obtenir la fonction y, de proche en 
proche, après qu’on s’est donné arbitrairement une première or 
donnée y 0 , dite valeur initiale de y et correspondant à l’abscisse x 0 
choisie comme valeur initiale de la variable. Or il en sera évidem 
ment de même dans le cas de l’équation plus générale (i) : car celle- 
ci détermine encore uniquement, pour chaque point {x, y) du plan, 
la pente y 1 qu’y a la ligne cherchée, si elle y passe; et elle permet 
ainsi à un point mobile (x,y), quelle qu’ait été sa situation initiale 
(x 0 ,y 0 ), de décrire, en prenant sans cesse (sur une longueur infini 
ment petite) la direction indiquée, une courbe partout conforme à 
l’équation (i), avec des abscisses x s’éloignant peu à peu, sans limite, 
de l’abscisse primitive x 0 , tant du moins que le point mobile (x, y) 
¡■este dans les régions du plan où la valeurf{x,y) dey' ne devient 
ni infinie, ni imaginaire. Seulement, la pente y' du chemin suivi dé 
pend maintenant de y, et non plus uniquement de l’abscisse x. Par 
suite, les diverses courbes correspondant, pour x = x 0 , à diverses 
ordonnées initiales y 0 , n’auront plus les mômes directions, pour 
chaque valeur de x, et représenteront des fonctions y différant entre 
elles tout autrement que par une constante arbitraire. 
Donc, quelle que soit l’équation différentielle (i), il existe toujours 
une fonction y, de x, qui la vérifie et qui, de plus, pour x — x 0 , peut 
recevoir telle valeur, y 0 , que l’on veut, du moins entre les limites où 
l’expression f{x, y) de y' est réelle et finie. Si l’on désigne par F une 
certaine fonction de deux variables, celte quantité y pourra s’écrire 
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