FORME NORMALE DE L’INTÉGRALE GÉNÉRALE. 
362*. — Calcul direct des solutions singulières et des systèmes de va 
leurs des variables pour lesquels des réunions ou des séparations 
d’intégrales sont possibles. 
(Compléments, p. 280*.) 
363*. — Propriété, qu’ont ordinairement ces systèmes de valeurs, de 
représenter des enveloppes, tangentes ou non à leurs enveloppées ex 
primées par l’intégrale générale. 
(Compléments, p. 2.3i*.) 
364. — Formes diverses de l’intégrale générale; facteurs d’intégrabilité. 
L'intégrale générale y — F (x, y 0 ) peut être mise sous une infinité 
d’autres formes, soit explicites, comme celle-là, par rapport à y, et 
obtenues en y faisant paraître, au lieu de la valeur initiale y 0 , une 
autre constante c liée à y 0 d’une manière quelconque ou définie par 
une équation de la forme c = é’(j'o)> soit même implicites, quand y 
s’y trouve déterminé, en fonction de x et de la constante arbitrairey 0 
ou c, an moyen d’une équation non résolue. Une telle relation, de la 
forme $>{x,y, c) — o, s’appelle F équation intégrale, ou simplement 
Yintégrale, de l’équation différentielle proposée y'=f(x,y). 
Parmi ces dernières, qui sont implicites, il faut distinguer surtout 
celle où l’équation intégrale se trouve résolue par rapport à y 0 ou à 
une fonction de y 0 seul, c’est-à-dire par rapport à une constante ar 
bitraire c, et mise ainsi sous la forme <2 {x, y) — c~ o, équivalente à 
<T>{x,y) — c ; car, alors, une simple différentiation, donnant 
do do , 
dì + dy y = ° 
ou 
conduit à une valeur de y' débarrassée de la constante c, comme on 
l’a déjà vu dans la VIII e Leçon (t. I, p. 124), tandis que, dans tout 
autre cas, il faudrait, pour éliminer c de l’équation obtenue en dif— 
férentiant l’intégrale, y porter la valeur de c tirée de l’équation inté 
grale elle-même. Aussi la forme o(x,y) = c jouit-elle, pour cette 
raison, d’importantes propriétés, qui lui ont fait donner le nom de 
forme normale de J intégrale. 
Observons que, dans le cas où c n’est autre chose que la valeur 
initiale y q de la fonction, cette forme normale y 0 = o {x, y) revient à 
considérer r 0 comme dépendant de x et y, c’est-à-dire d’une valeur 
quelconque de la variable x et de la valeur correspondante y de la