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,(J0 THÉORIE DES SYSTÈMES D’ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES : 
lions, définies au moyen des coefficients angulaires y', z', u', 
prises au même moment par les divers points mobiles. Ceux-ci se 
rendront de la sorte dans des positions infiniment voisines, où une 
nouvelle application des équations (i) fera connaître les nouvelles 
directions, presque identiques aux précédentes, qu’ils devront pren 
dre ; et ainsi de suite. Dans quelques situations qu’arrivent ainsi, de 
proche en proche, les points ayant y, z, u, ... pour ordonnées, il 
existera toujours certaines pentes y 1 , z', u r , . . . satisfaisant aux équa 
tions (i) et qui permettront à ces points d’atteindre finalement une 
abscisse x quelconque, tant que, du moins, x, y, z, u, ... se main 
tiendront dans les limites entre lesquelles les fonctions j\, f 2 , f 3 , . .. 
sont réelles et finies. 
Donc, les équations simultanées (i) admettent toujours un sys 
tème d’intégrales générales, de la forme 
[ y — Fi(æ?,jk 0 , «o, •••)» 
) z = F 2 {x,y 0 ,z 0 , Mo, • • •), 
V 2 ) \ 
J m — F 3 (x,y 0 ,z 0 , u 0 , ...), 
c’est-à-dire quVZ existe toujours des fonctions y, z, u, ... qui le 
vérifient et qui, pour x = x 0 , peuvent recevoir des valeurs y 0 , z 0 , 
u 0 , . . . choisies à volonté. 
373*. — Unité du système des intégrales générales; possibilité de 
quelques intégrales singulières et calcul direct de celles-ci. 
(Compléments, p. 245*.) 
374. — De la forme normale des intégrales : facteurs d’intégrabilité. 
Il est clair qu’on pourra, dans les intégrales (2), substituer à r 0 , 
zo, u 0 , . . . d’autres constantes arbitraires en même nombre, c¡, c 2 , 
c 3 , . . ., liées k y o, z 0 , u 0 , . . . par des relations quelconques, et dont, 
par suite, y 0 , z 0 , u 0 , . . . seront des fonctions déterminées. Les n 
variables y, z, u, ... dépendront donc des n constantes c,, c 2 , c 3 ,..., 
en même temps que de x\ et elles pourront d’ailleurs n’être obtenues 
par l’intégration que sous forme implicite, c’est-à-dire à l’état de n 
équations non résolues entre x, y, z, u, ... et c¡, c 2 , ..., c n . De 
telles relations sont dites des équations intégrales du système (1). Si 
on les résout j>ar rapport aux n constantes cq, c 2 , c 3 , . . ., elles de 
viendront de la forme 
(5) (x,y,z,u,...)—Cl, o 2 (x,y,z, u, ...) = c 2 , y 3 (x,y,z, u,...) = c 3 , etc.,