FACTEURS INTEGRANTS ET INTEGRALES DE DIVERS ORDRES D’UNE ÉQUATION. ig3 
377. — Cas particulier d’une seule équation différentielle d’ordre supé 
rieur ; intégrale générale ; facteurs d’intégrabilité ; intégrales de di 
vers ordres. 
Soit, par exemple, une équation différentielle d’ordre n, supposée 
résolue par rapport à la dérivée la plus élevée, 
(9) 
' dx a dx' 2 ’ ’ dx ,l ~ l ) 
entre une variable indépendante x, sa fonction y et les n premières 
dérivées de celle-ci. En regardant comme des fonctions distinctes les 
n — i dérivées y', y", y'", . . ., intermédiaires entre la fonction 
y et sa dérivée /¿ lème , y (,l \ que nous écrirons — 5 nous aurons le 
système de n équations simultanées du premier ordre, 
ppyr =A x ,y,y',y", 
entre la variable indépendante x et les n fonctions y, y 1 , y", ..., 
y("—*) de cette variable ; et il est évident que ce système (io) a pré 
cisément la même signification que l’équation proposée (9). 
On voit que l’intégrale générale déterminera y et, par - suite, y 1 , 
y", . . ., en fonction de x et des valeurs initiales arbitraires 
y 0 , yf yl, ô /î-1) , que prendront toutes ces quantités pourvu — x 0 . 
Donc, l’intégrale générale d’une équation différentielle du n iéme 
ordre contient n constantes arbitraires, telles qu’on peut se donner 
cl volonté les valeurs initiales de la fonction et de ses n — 1 pre 
mières dérivées. 
Chacune des n intégrales normales, distinctes, du système (10) 
étant de la forme ç> {x, y,y',y", ■ ■ ■, / (re-1) ) — c, les facteurs d’in té— 
grabdité correspondants sont ypyi ~/yl-í¡ > et > s * l’ on multiplie 
par ceux-ci les équations (10), mises sous la forme 
dy — y' dx — o, dy' — y" dx — o, ..., 
dy t ' n ~^ —y(n-\) gx = o, c(y l/i—11 — f dx = o, 
(“) 
puis, qu’on ajoute les résultats, la somme des premiers membres éga- 
B. — II. Partie élémentaire.