I g4 THÉORIE GÉNÉRALE DES ÉQUAT. DIFF-ER. : INTEGRALES DE DIVERS ORDRES;
lera, comme on sait, la différentielle totale exacte de la fonction
On aura ainsi
do
do
d}
t ( dy _ y dx) H- ( dy - y" dx)
do
i
dy ia ~
( dy^' l ~ 1 ' —f dx) = c/o,
c’est-à-dire, plus simplement, en tenant compte de ce fait que j',
r", . . . désignent les dérivées successives de y et que, par suite, les
expressions dy—y' dx, dy' — y"dx, . .., dy^ l ~- ] —dx sont
identiquement milles,
(m)
do
dy {
ffjj (dy<»-*>—fdx) = do.
IL existe donc, pour toute équation différentielle d’ordre n mise
sous la forme dy( n ~' i ' ) — f dx -no, un facteur, ■ , •> fonction de
cty
x, y, y 1 , y", . . ., et même n facteurs analogues distincts
(un pour chaque intégrale normale cpr=const.), qui rendent le
premier membre de cette équation la différentielle totale de cer
taines fonctions cp de x, y, y 1 , y", . . ., y (ra_1) .
Quand un de ces facteurs est connu et qu’on l’applique, l’équation
devient exactement intégrable une fois ; et l’on obtient, en intégrant
en effet, une équation différentielle d’ordre n — i, savoir
? O, y, y\y", ■■■, y {,l -y = c.
Celle-ci est dite une intégrale générale première de la proposée. Si
l’on peut la traiter comme la proposée, c’est-à-dire l’intégrer elle-
même une fois, on aura, avec deux constantes arbitraires, une nou
velle intégrale, appelée intégrale deuxième de la proposée. En
continuant de même, on arrivera, après n intégrations, à l’équation
intégrale n ième ou du n icme ordre, qui contiendra x, y et les n con
stantes arbitraires successivement introduites. Celle-ci sera l'inté
grale générale de la proposée ; car, résolue par rapport à y, elle
donnera la valeur générale de cette fonction, avec toutes les con
stantes arbitraires nécessaires pour pouvoir disposer à volonté de sa
valeur initiale y 0 et de celles, y 0 , y" 0 , . . ., y [ f~ v ‘, de ses n — i pre
mières dérivées.
378*. — Sur les solutions singulières des équations différentielles
d’ordre supérieur.
(Compléments, p. 2/(8*.)