ÜiliHI 
ÉLIMINATION DE FONCT. INCONNUES. ENTRE PLUSIEURS ÉQUAT. DONNÉES. 19a. 
379. — Équation différentielle d’ordre supérieur propre à chacune des 
fonctions que définissent des équations simultanées du premier ordre : 
intégration du système, de proche en proche, par l’emploi de la série 
de Taylor. 
Si une équation différentielle d’ordre n peut être remplacée par n 
équations du premier ordre, à l’inverse, un système de n équations 
du premier ordre, comme, par exemple, le système (i) [p. 189], 
conduit, par l élimination de n — 1 des fonctions inconnues, à une 
équation différentielle d’ordre n entre la variable indépendante x 
et la fonction inconnue restante. 
Pour le démontrer, observons d’abord que les équations proposées 
(i) permettent d’obtenir, en fonction des valeurs actuelles de x, y, 
z, u, . . ., non seulement les dérivées premières de y, z, 11, . . ., mais 
encore leurs dérivées d’un ordre quelconque. En effet, la différentia 
tion de la première (1), par exemple, donnera 
„ df! 
y = dï- 
, df 
-dï^ 
- Î f l 
dz 
df, , . 
-1— —7— u —!— 
au 
§•1-8 
11 
df \ f . 
dy 1 ‘ 
d f\ . 
' dz 7 2 
. df ^ 
du ^ i 
('4) 
expression de y", qui est, comme y', une fonction connue de x, y, 
z, u, . .., et qui servira elle-même de point de départ pour obtenir 
successivement y'", y IV , .... 
Si donc on évalue, par exemple, y', y", y'", . . ., y(») en fonction de 
x, y, z, u, ..., on aura, entre ces dérivées et x, y, z, u, ..., des 
relations au nombre de n ; et il suffira de les combiner de manière à 
en éliminer les n — i variables z, u, ..., pour obtenir finalement 
une équation entre x, y, y', y", . . ., c’est-à-dire une équation 
du /¿ ième ordre en y. L’intégration de cette équation fera connaître 
séparément j, du moins entre certaines limites, en fonction de x et 
des valeurs initiales, y 0 , y' 0 , y" 0 , ...,y ( 0 n ~ 1> , tant de la quanti té y que de 
ses n — 1 premières dérivées y', y", ..., y< n ~ 1 ), dérivées évaluables 
d’ailleurs, pour x = x 0 , en fonction des vraies constantes arbitraires 
y 0 , z0, u 0 , ... de la question, grâce aux formules, comme y'—f et 
comme (i4), de ces dérivées dey. 
On remarquera que les expressions dey, z, u, . . ., ou plutôt leurs 
accroissements successifs pour de petits accroissements h de x, pour 
ront généralement se calculer de proche en proche par la série de 
Taylor, à un degré aussi élevé qu’on voudra d’approximation, en