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ÉQUATIONS LIN. D’ORDRE SUPÉRIEUR : LEUR RÉDUCT. AU PREMIER ORDRE. 2l3 
±-y' = 
dx J 
—y"=o, . .., sont des équations linéaires, sans se 
conds membres et à coefficients constants. Donc, si le système proposé 
était linéaire, il ne cesse pas de l’être en devenant du premier ordre ; 
et il se trouve même soit sans seconds membres, soit à coefficients 
constants, quand le proposé l’est déjà. Ainsi toutes les réflexions et 
théories précédentes s’étendent d’elles-mêmes aux équations linéaires 
d’un ordre quelconque. 
Considérons, par exemple, l’équation unique, et du n ,ème ordre 
en y, 
04) 
y 
(n). 
Xy(n-i) _f_ By (,z ~ 2) -t- ... 4- Ly — F (a?), 
où les coefficients A, B, . . ., L désignent, comme le second membre 
F(.r), des fonctions données de la variable indépendante x. Elle 
équivaudra au système linéaire de n équations du premier ordre, à n 
fonctions inconnues y, y’, y", .. ., y (ft — J ), 
■y =o, 
dv' 
7Z~r = °’ 
c ly(ri-2) 
(i5) 
dx 
■y 
c«—1) 
dy^ l ~ 
dx 
\y(n—l) J} yUl~2) _ 
L y 
Il en résulte notamment que, si l'on pose d’abord F(.a?) — o, l’ex 
pression générale de y, d’où des différentiations immédiates déduiront 
celles de y', y", y"', ..., y {n ~‘ i \ sera de la forme 
(16) 
y = ciji + c 2 j 2 + . 
c n y n [cpiand F(a?) = o]. 
Mais il faudra, pour cela, que les n intégrales particulières y u 
y 2 , . . ., y n de l’équation (i4) prise sans second membre soient dis 
tinctes, c’est-à-dire telles, que le système de n relations du premier 
degré en c 1} c 2 , ..., c n formé par l’équation (i6) et ses n — i pre 
mières dérivées puisse être résolu par rapport aux constantes arbi 
traires c 1} c 2 , . .., c n ou donner les intégrales normales, et permettre, 
par conséquent, de choisir c¡, c 2 , . . ., c n de manière à rendre arbi 
traires, pour x — Xq, les valeurs (initiales), y 0 , y 0 , y" 0 , 
de la fonction y et de ses n — i premières dérivées. 
A l’inverse, si l’on donne non plus une équation linéaire (i4), mais 
un système quelconque d’équations linéaires, qui, réduit au premier 
ordre, pourra être supposé le système (i) considéré déjà [p. 200], on 
en déduira facilement pour chaque fonction inconnue, y par exemple, 
une équation linéaire d’ordre n. Et celle-ci se trouvera soit dépourvue 
J.