2l4 SYSTÈMES D’ÉQUATIONS LINÉAIRES : FORMATION, PAR LEUR MOYEN, 
de second membre, soit à coefficients A, B, . . ., L constants, quand Je 
système donné sera lui-même ou sans seconds membres F t , F 2 , . . ., 
ou à coefficients A,, B n ... constants. Différentions, en effet, l’ex 
pression de /' fournie par la première (i) et où /, z, a, ... ne figurent 
qu’au premier degré. Il viendra évidemment, pour y", une expres 
sion, linéaire en y', z', u',..., y, z, u, ..., qui, tout en conservant cette 
forme, ne contiendra plus que y, z, u, ... après substitution, à y', 
z', u', .. ., de leurs valeurs tirées de (i). En outre, il est clair, d’une 
part, que cette expression n’aura pas de terme indépendant de y, z, 
u, ... si les équations (i) sont sans seconds membres, d’autre part, 
que/, z, u, . . . s’y trouveront affectés de coefficients constants quand 
ceux de (i), A t , B l3 C t , ..., A 2 , ..., le seront. Et l’on obtiendra des 
résultats analogues en procédant de même sur cette expression de/", 
pour avoir /'", sur celle de y'", pour avoir/ IV , etc.; de sorte que toutes 
les dérivées de /, à l’infini, égaleront des fonctions linéaires de /, 
z, u, .. . jouissant des propriétés désignées. Donc il suffira d’éliminer 
les n — i fonctions z, u, ... entre les n équations du premier degré 
dont les seconds membres sont les dérivées /', y", . . ., / (w) et les 
premiers, leurs expressions en/, z, u, . . . avec ou sans termes indé 
pendants de ces variables, pour obtenir l’équation linéaire annoncée, 
du n iè,Qe ordre en /. 
Comme exemple très simple, soit le système, à coefficients con 
stants, 
(17) y—kz = FjO), z’-h ky = F2O). 
La première (17), différentiée, donnera /"—kz'~ Fj (¿c). Or par 
la substitution dans celle-ci, à z', de sa valeur —ky -f- F 2 (,3?) tirée de 
la seconde (17), il viendra 
(18) y"k*y — Fj (a?) -f- /cF 2 (oi), 
équation d’où ^ est tout éliminé. De même, la différentiation de la 
seconde (17), suivie de l’élimination de/' par le moyen de la pre 
mière, conduit, pour s, à la relation 
(19) *'+*•* = F', (ar)-¿Fi (a?). 
On voit que, si les seconds membres de (17) étaient nuis, une même 
équation différentielle du second ordre régirait les deux fonctions 
inconnues / et z, savoir u" -t- k 2 u —,o, où u désignerait à volonté 
l’une ou l’autre. 
11 est clair que, plus généralement, l’élimination d’une des deux