INTÉGRATION DK L’ÉQUATION LINÉAIRE DU SECOND ORDRE
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sont bien générales, on permettent de choisir à volonté y et y' pour
une valeur arbitraire de la variable.
Mettons-les sous la forme normale, afin d’obtenir les facteurs inté
grants. A cet effet, nous éliminerons soit c 2 , soit Cj, en multipliant l’é
quation de la seconde ligne (26), respectivement, soit par — _ sin ^- r ou
si h Sa? . cos Sa? coh Sa? . . , . .
—- > soit par — Q -— ou —0— , et en ajoutant le résultat a 1 e-
i J P P
quation de la première ligne, multipliée de même soit par cos [fa? ou
coh¡3a?, soit par sin[3a? ou — sih ¡3.3?. Observons que
cos 2 p a? -t- sin 2 [3a? = 1, coh 2 [3a? — sih 2 ¡3 a? = 1,
et, après avoir changé les membres de place, il viendra
(a?)
^ cj = soit ycosftx—y'
sin S x
10 , sih Sa?
soit y coh p a? — y —-p—■ ?
c 2 = soit y sin pa? -t-y’
cos S;
soit —ysihfix~\-y
, coh 3 a?
Les seconds membres de celles-ci sont les fonctions que nous appe
lons respectivement cp t et cp 2 , ou dont les dérivées en y 1 constituent
(p. iq4) les facteurs intégrants de l’équation proposée y"± ft 2 y = o,
écrite dy'± ^-y dx — o. Et, en effet, l’expression dy' ± $-ydx, mul
tipliée par ces dérivées, qui sont
, sinS.r sih Sa?, , cosSa? coh Sa?,
(28) «— 011 o—(pourcj), et ■—~— ou —^—(pour c 9 ),
PP PP
donne bien, identiquement, les différentielles totales des seconds
membres de (27), comme le montre la différentiation de ceux-ci.
397. — Intégration de la même équation, mais avec second membre.
Si nous restituons actuellement le second membre F(a?) de l’équa
tion, les principes exposés ci-dessus (p. 210) permettront de déduire
la nouvelle intégrale de celle qui vient d’être obtenue pour le cas où
F(a?) s’annulait, puisqu’ils nous apprennent que les mêmes facteurs
d’intégrabilité y suffisent. Supposons, par exemple, afin d’utiliser les
calculs précédents, l’équation débarrassée de son second terme, ou
réduite à y" ± [3 2 y — F(a?). Le système linéaire à intégrer d’après
les principes dont il s’agit sera
(29)
dy'± ¡3 2 jk dx — F(a?) dx, dy —y'dx = °.
