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ÉQUATION LINÉAIRE DU SECOND ORDRE A COEFFICIENTS CONSTANTS ; 
Alors la formule (Si) de y, restreinte à C, cos $x + C 2 sin $x, devient 
aussi simple que possible, après substitution des valeurs correspon 
dantes (3o) de C t et C 2 , si l’on change sous les signes y le nom de la 
variable d’intégration x, afin de pouvoir, sans confusion, introduire 
sous ces signes des facteurs en x. Appelons cette variable, par exemple, 
et, dans la différence 
il sera permis de faire passer les facteurs sin^Æ;, cos[3¿u sous les 
signes f, puis de réduire à une seule intégrale la différence des deux. 
Il viendra enfin, comme solution générale de (32), 
o 
Effectivement, deux différentiations successives en x de cette ex 
pression (33) de y, dans lesquelles on se souviendra de la règle établie 
plus haut (p. i6i) pour dlfférentier une intégrale définie à élément 
et limites variables, donnent 
y = — Cj j3 sin fix -+- C-2 ¡3 COS^¿r-f- F(£) cos($x— ¡3Í) d\ 
y" — — Cl P 2 cos ¡3# — C 2 P 2 sin $x 
(34) 
'-O 
et cette dernière valeur de y", jointe au produit par ¡B 2 de l’expression 
(33) de y, rend bien la somme/+ y-y égale à F(oi), conformément 
à (32). 
On voit, en faisant c 1 — o, c 2 = o dans (33) et dans la première 
(34), que le dernier terme de (33), fourni par la variation des con 
stantes, constitue pour l’équation proposée (32) une intégrale particu 
lière initialement nulle avec sa dérivée première y'. La quadrature 
qu’exige le calcul de ce terme se fera évidemment sous forme finie par 
les principes exposés dans la XXII e Leçon (pp. 23, 29 et 32), quand 
F(£) se composera de termes proportionnels à des facteurs comme \ m , 
ou £" z cosni;, ou \ m sin n \ (avec m entier et positif), ou comme e W! ?cosn\ 
et sinn \ (m et n désignant des nombres quelconques). Telle est 
donc la solution de l’équation proposée, que la méthode de la varia 
tion des constantes, appliquée en faisant varier celles-ci à partir de