222 ÉQUATION EIN. A COEFF. CONSTANTS ET A SECOND MEMBRE PÉRIODIQUE ; 
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après un accroissement donné (appelé période) de la variable, peut 
se décomposer [p. 160*] en termes proportionnels soit aux. cosinus, 
soit aux sinus dont la périodicité concorde avec la sienne, ou qui re 
trouvent leurs valeurs premières chaque fois qu’elle-môme reprend 
celles qu'elle avait eues déjà. Si, plus généralement, les divers termes 
de F(¿c) étaient proportionnels à des cosinus ou sinus ayant leurs 
périodes incommensurables entre elles, de manière à ne jamais repas 
ser tous à la fois par les mêmes valeurs, les oscillations de ces termes 
de part et d’autre de zéro n’en rendraient pas moins F(^) nul en 
moyenne, en exceptant celui, de valeur constante, qui correspondrait 
à n — o; et la fonction F (x) serait ce qu’on peut appeler irrégulière 
ment périodique. 
Dans tous ces cas, il est aussi naturel de former une intégrale 
offrant la périodicité régulière ou irrégulière de F(^r), qu’il l’était 
d’en former une constante quand F [x) ne variait pas ; et, vu le principe 
de superposition (n° 389, p. 206), il suffira de composer cette intégrale 
de celles, de l’espèce désignée, que l’on aurait pour chaque terme de 
F(æ), considéré séparément. Prenons ainsi F(,a?) — K cos{nsc — y) 
et, pour essayer d’abord l’hypothèse la plus simple, supposons la so 
lution particulière cherchée, que j’appellerai Y, proportionnelle à 
F(îc). Donc faisons 
j Y = aF(x) — aK cos{nx— y) 
( [d’où Y" = — an 2 K cos {nx — y) = — an 2 F (a?)] 
dans l’équation différentielle devenue Y"¡3 2 Y =zzF(æ), en nous ré 
servant de déterminer a de manière à la vérifier s’il est possible. Or 
c’est ce qui a lieu ; car, par la suppression du facteur commun F(#), 
il vient — a/d 
1, ou a 
^-■ïï5 etY =pr£r^ cos <' î *—f)‘ 
Par suite, si nous appelons encore Y la solution périodique com 
plète, pour le cas où le second membre donné F (.a?) est lui-même une 
fonction régulièrement ou irrégulièrement périodique de la forme 
2Kcos(/z.r— y), nous aurons l’expression suivante de Y, se réduisant 
bien à y — lors d’un seul terme avec n et y nuis : 
K 
(35) 
cos {nx — y), 
quand F {x) = 2 K cos {nx — y). 
L’excédent, y— Y, de la solution générale / sur cette solution pé 
riodique Y ne sera autre que l’intégrale, ayant la forme 
M cos$x N sin $x,