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PERMANENCE OU PÉRIODICITÉ FINALES DE CERTAINS PHÉNOMÈNES.
qu’on exprime, dans le langage ordinaire, en disant que le phénomène
se règle par périodicité, comme les causes qui l’entretiennent, tandis
qu’il se réglerait par permanence si ces causes étaient invariables,
ou que l’on eût F(a?) =r const.
Un tel régime devient cependant impossible (en tant que soumis à
des lois aussi simples) dans un cas remarquable. C’est celui où la
différence entre p 2 et l’une des valeurs de /U serait assez faible, pour
faire dépasser à la fonction Y censée exprimée par (4o), en atténuant
le dénominateur correspondant fi 2 —ri-, la limite de la petitesse ad
mise qui, seule, justifie la forme linéaire donnée à l’équation du phé
nomène. Ce cas plus complexe, et qui échappe ainsi à notre analyse
par suite seulement d’une grandeur exagérée des oscillations ou va
riations qu’y atteint y, se trouve donc caractérisé par une égalité
exacte ou presque exacte des périodes (liées, l’une, à P, l’autre, à n)
des deux fonctions, c l cos$x -+- c 2 sin ÿx et Kcos(/i.r— y), expri
mant, la première, les oscillations naturelles du phénomène dans le
corps abandonné à lui-même et, la seconde, les variations périodiques
d’une des influences extérieures données.
Une pareille concordance ne pouvant qu’être fort rare, c’est, en gé
néral, la formule (4°) ou même, sensiblement, la formule plus simple
(35), qui, pour les grandes valeurs de x, donnera, quelles qu’aient
été les circonstances initiales, l’expression asymptotique approchée
d’un mouvement régi à très peu près par l’équation différentielle
y" -+- fi 2 y — 2 K cos ( w ¿c — y).
Certains phénomènes, comme, par exemple, réchauffement ou le
refroidissement d’un petit solide immergé dans un liquide à tempé
rature uniforme et constante, ne comportent pas de périodicité
quand on les soustrait à toute influence extérieure variable ; car l’état
physique y change toujours dans un même sens, jusqu’à Vextinction
finale. L’équation type qui les gouverne n’est alors que du premier
ordre : elle a la forme y' -h fi 2 y = o, au lieu de y"-h $ 2 y = o, et elle
admet pour intégrale générale y — ce~$‘ x . Il est clair que, entretenus,
au contraire, par des causes extérieures périodiques 2Kcos(«æ — y),
ou désormais régis par l’équation y'+ fi 2 y — 2lvcos(«^ — y), ces
mêmes phénomènes tendront encore vers un état périodique, défini
par une intégrale, Y = SaKcos(«a; — y — o), que l’on formera
comme il a été expliqué après la formule (36), et auquel, encore,
ils parviendront asymptotiquement après des écarts ayant eu l’expres
sion, ce~$' x , delà quantité physique, considérée dans le système sous
trait aux causes variables dont il s’agit.
La plupart des faits dynamiques sont, il est vrai, beaucoup trop
