CINQUANTIÈME LEÇON.
CALCUL DES VARIATIONS.
481.
But du calcul des variations.
Les équations soit différentielles, soit aux dérivées partielles, ad
mettent encore une application importante, qui fera l’objet de notre
dernière Leçon. Elle consiste à déterminer la forme que doivent rece
voir certaines fonctions, graduellement altérables et arbitraires, du
moins entre des limites ou sous des conditions désignées, pour rendre
maximum ou minimum une intégrale définie, soit simple, soit mul
tiple, dont les divers éléments se trouvent dépendre des valeurs suc
cessives de ces fonctions. Des problèmes célèbres de Géométrie et de
Mécanique, résolus d’abord, vers la fin du xvn e siècle, par des pro
cédés spéciaux dont on verra plus loin un exemple (n°493), ont donné
naissance à cette dernière branche de l’Analyse, qu’Euler et Lagrange
organisèrent définitivement, sous le nom de Calcul des variations,
vers le milieu du siècle suivant.
Pour nous former une idée précise de son but, imaginons que, de
vant considérer dans le plan xOy [p, 2.48], entre un point connu A
dont l’abscisse x estOa = « et un autre point connu B dont l’abscisse
plus grande est O ¡3 = b, une courbe arbitrairement variable d’ailleurs,
ou, ce qui revient au même, une infinité de courbes comme AMB,
définies chacune par la fonction qui exprime en x leur ordonnée y,
l’on donne en outre une fonction bien déterminée f{x,y, y') de cette
abscisse x, de l’ordonnée y et de quelques-unes des dérivées succes
sives de celle-ci, dérivées que nous supposerons, pour plus de simpli
cité, se réduire à la première y', ou au coefficient angulaire C ~ —
de la tangente MT menée au point considéré quelconque M (x,y);
enfin, que l’on demande de choisir la courbe AMB, c’est-à-dire la fonc
tion inconnue y de x, de manière à rendre l’intégrale / f{x,y,y')dx
le plus grande ou le plus petite possible, savoir, ou constamment plus