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CALCUL DES VARIATIONS : SON OBJET; 
grande, ou constamment plus petite pour cette courbe AMB que pour 
toute autre infiniment voisine, comme AM'B. Obtenir ainsi, entre 
des limites fixées a, b, la fonction y de x qui fait atteindre son 
r b 
maximum ou son minimum à une intégrale / y(¿r, jqy )dx dé- 
a 
pendant de la forme de cette fonction, tel est, dans les conditions les 
plus simples, le problème général du calcul des variations. 
482. — Sa méthode, considérée comme cas limite de la règle usuelle 
pour les maxima et minima des fonctions de plusieurs variables in 
dépendantes. 
L’intervalle b — a—a$ des deux limites se composant d’une infi 
nité d’intervalles élémentaires dx, tels que PQ, compris entre des 
points de division de oQ infiniment voisins définis chacun par leur 
abscisse x, et toute courbe qui va de A à B se trouvant évidemment 
caractérisée au moyen de ses ordonnées PM, QN, . . . tirées par 
tous ces points de division, il est clair que la somme à étudier 
y')dx constitue en réalité une fonction d’une infinité 
de variables, savoir, de toutes les ordonnées PM, QN, ..., existant 
entre «A et ¡3B. Or ces ordonnées sont mutuellement indépendantes, 
en ce sens du moins qu’il n’existe aucune relation permettant de cal 
culer l’une en fonction des autres. On pourra donc, malgré la com 
plication introduite par une telle infinité de variables, essayer d’ap 
pliquer la règle ordinaire des maxima et minima (t. 1, p. 171). 
A cet effet, on cherchera l’accroissement total qu’éprouve la fonc 
tion considérée quand on fait changer infiniment peu chaque variable, 
autrement dit, quand on allonge chaque ordonnée PM d’une très 
petite quantité positive ou négative MM r ; et, après avoir exprimé cet