2 JO CALCUL DES VARIATIONS I SA MÉTHODE, 
telle que MM'. Comme doy exprime la différence, NN'— MM', de 
deux variations consécutives, chaque variation indépendante, MM ; 
par exemple, paraît dans deux éléments de l’intégrale en question, 
savoir, dans celui, -jy, (NN 7 —MM'), qui est relatif à 1' intervalle 
dx =. PQ compté à partir de l’abscisse actuelle OP = x, et dans celui 
qui est relatif à l’intervalle précédent, compris entre les abscisses 
x — dx et x, élément où le facteur doy exprime l’excédent de MM' 
sur la variation précédente et oCi a pour valeur, sensiblement, sa 
valeur actuelle diminuée de sa différentielle d—/-, corrélative à un ac- 
dy 
croissement dx de la variable. En résumé, la variation oj 
MM' est 
multipliée par — c ^dy' ^ ans 1 un des deux éléments considérés, 
et par -—--y dans l’autre; ce qui donne en tout le produit 
11 en serait de même pour toutes les autres valeurs de oy entre A 
et B, à l’exception des deux variations extrêmes, savoir celles des 
ordonnées aA, pB, variations dont on peut ne pas s’occuper ici puis 
qu’on les suppose milles. Ainsi le dernier terme de (2) revient à 
(3) 
r 
— d 
df \ s 
dy 
°y- 
On voit par cet examen direct comment le terme en question, où 
figurait la variation non indépendante oy'— ’ se transforme de 
manière à ne plus contenir que les variations indépendantes ou arbi 
traires oy. Or on serait arrivé au même résultat et, en quelque sorte, 
mécaniquement, en intégrant par parties l’expression y~ doy placée 
sous le signe f, ou, ce qui revient au même, en écrivant 
(4) 
et, par suite, 
(5) f 
df , ,/<*/, \ , ,df 
-f-, doy = cl -j—, o y — O y d 
dy' * \dy " ) - df 
df 
dy 
7 doy = 
df . \ 
dy 
7 
_ f 
1—n J... 
x=b 
df\z 
df 
oy. 
En effet, cette expression se trouve réduite à son dernier terme, qui