EXPOSÉE POUR LES CAS LES PLUS SIMPLES. 
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n’est autre que (3), par l’annulation supposée cleo/ aux deux limites, 
annulation entraînant celle du terme intégré or. 
& dy 1 
C’est donc au moyen d’intégrations par parties, dans lesquelles ils 
prennent pour facteurs non intégrés les facteurs multipliant sous les 
signes f une différentielle de variation, que les géomètres parvien 
nent facilement à éliminer les variations non arbitraires égales à de 
telles différentielles (ou aux dérivées correspondantes) prises par rap 
port aux variables d’intégration. 
En résumé, remplaçons le dernier terme de (2) par sa valeur ainsi ré- 
r b 
duite (3), et l’expression définitive de la variation de / f{x,y,y')dx, 
' a 
sous la forme voulue d’une différentielle totale, sera 
(6) 0 f f(x,y,y’)dx = f [ < yn r dx - d&¡)oy. 
• a ' x=d v / 
D’après la règle énoncée des maxima et minima, il faudra y égaler 
à zéro le coefficient de chaque variation oy; ce qui donnera une infi 
nité d’équations comprises dans la formule 
(7) 
d I dx _ d iL 
dy 
üy 
En d’autres termes, la relation (7) devra être vérifiée en tous les 
points de la courbe AMB : ce sera l'équation différentielle de celte 
courbe. Comme la fonction /et, par suite, les dérivées partielles -j 
df 
dy’ 
df 
, dépendent généralement de x, y et y', la différentielle complète 
.df 
d -r~-, sera 
dy 
d\f 
d\f 
1 ■ - y , 
dx dy' dy dy' J dy 
supprimant le facteur commun dx, deviendra 
dff 
-.y 
dx, et l’équation (7), en y 
(8) 
df _ fff _ d\f dff o 
dy dxdy' dy dy' ^ dy' 2 
On voit c[u’elle est du second ordre. Son intégration fera donc con 
naître la ligne AMB demandée; car les deux constantes arbitraires 
qu’elle introduira se détermineront en exprimant que la courbe passe 
par les points donnés A et B, ou qu’on doit y avoir/ = a A pour X — o 
et / = pB pour x — b. 
Í83*. — Justification directe de cette méthode. 
(Compléments, p 536*.)