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PROPRIETE DU CERCLE, SUR LE PLAN ET SUR LA SPHERE.
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et si, gardant alors la nouvelle longueur BEFD ou G — dC du con
tour, on lui donnait la forme voulue pour laquelle l’aire correspon-
dante a la valeur maxima A — dA, celle-ci, d’après le principe admis
que dA et d(Z sont comparables, se trouverait moindre que l’aire
isopérimètre BEFD très sensiblement égale à A, alors que sa qualité
d’aire maxima lui impose d’être plus grande.
Donc, même sur un» surface courbe (supposée bien continue),
nulle ligne présentant un point anguleux ne saurait, dans sa lon
gueur donnée, embrasser l’aire maxima.
49o. — Courbe de longueur donnée qui, sur un plan ou sur une sphère,
entoure l’aire maxima ; cette courbe est un cercle.
Le principe de continuité précédent ainsi établi, considérons en pre
mier lieu le cas d’une surface plane; et soit RSTÜ (p. 266) celle dont
Faire, à périmètre égal, est la plus grande possible. Par un quelconque,
B, de ses points, menons une corde ou sécante RT, et faisons-la
tourner autour de R jusqu’à ce qu’elle partage le contour G en deux
parties équivalentes. A ce moment, il y aura une des deux parties
RTS, RTU de la surface qui sera ou plus étendue que l’autre ou,
pour le moins, aussi étendue que l’autre. Soit RST celle partie. Si
Fon prend sa symétrique par rapport à RT et qu’on lui adjoigne cette
symétrique, on obtiendra évidemment une surface ayant contour
équivalent à celui de la proposée et au moins autant d’aire. Par suite,
d’après la propriété démontrée ci-dessus, les angles que feront, avec
RT, les tangentes menées en R et en T à la courbe RST seront droits;
sans quoi ceux, deux fois plus grands, que présenterait en R et en r l
la figure RST complétée par sa symétrique, différeraient de deux
droits, et constitueraient une discontinuité inadmissible en vertu du
principe précédent.
Ainsi, dans la surface considérée RSU, toute corde, RT par
exemple, qui sous-lend un arc égal à la moitié du contour, lui est
perpendiculaire à ses deux extrémités. Or, si 1 on mène une seconde
