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PROPRIÉTÉS DU CERCLE ET DE LA SPHERE. 
Si la courbe RSTU, au lieu d'être tracée sur un plan, devait se 
trouver sur une sphère et y entourer la surface sphérique la plus 
grande possible, la même démonstration s’appliquerait, sans autres 
changements que la substitution de plans diamétraux aux sécantes 
précédentes et d'arcs de grands cercles aux cordes RT, R'T', RR' 
TT', . . ., ou de triangles sphériques aux triangles rectilignes ROR', 
TOT'. Il faudrait, toutefois, supposer les arcs RT, R'T' inférieurs à 
un demi-grand cercle, pour pouvoir, de l’égalité de RR' à TT', con 
clure celle de OR à OT. Sous cette réserve, on obtiendrait encore, 
pour la courbe demandée, une circonférence, ayant son pôle en O. 
Ainsi, la courbe fermée qui, sur une surface sphérique (et non 
pas seulement sur le plan), embrasse, à longueur égale, la plus 
grande superficie, est la circonférence, pourvu toutefois que le 
maximum cherché existe. Evidemment, cela n’a lieu, dans le cas 
de la sphère, qu’aulant que la circonférence en question ne devient 
pas celle d’un grand cercle. 
Sauf cette restriction, on voit que, par exemple, à la surface de la 
terre, un pays d’une étendue déterminée offre la moindre longueur 
possible de frontières quand son contour est circulaire, ou quand sa 
forme se rapproche le plus possible de celle d’une simple calotte. 
196. — Surface d’une étendue donnée enfermant le plus grand volume ; 
elle n’est autre qu’une sphère. 
Considérons enfin la surface courbe fermée qui, sous une certaine aire 
totale S, comprend le plus grand volume, et soit KLM (p. 268) sa sec 
tion par un plan quelconque. Je dis que cette section sera nécessaire 
ment circulaire. 
Menons, en effet, à la surface un plan langent PV parallèle à KLM 
et, dans ce plan, par le point P de contact, la tangente quelconque 
PA ; puis imaginons qu’un plan mené suivant PA tourne, autour de 
cette droite, jusqu’à l’instant où, coupant le solide suivant une cer 
taine courbe PLP'L', il partage la surface du solide en deux parties, 
PLP'K, PLP'M, équivalentes. Alors celle de ces deux parties qui 
recouvre le plus grand volume formera évidemment, avec sa symé 
trique par rapport au plan PLP' qui la limite, une surface fermée de 
même aire que la proposée et contenant le volume le plus grand pos 
sible. Or la figure ainsi obtenue, symétrique de part et d’autre du 
plan PLP'L', ne peut avoir une arête tout le long de son intersec 
tion avec ce plan ; et celui-ci est, dès lors, forcément normal en tous 
leurs points communs. Donc, ce plan PLP' se trouve : i° mené sui-