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LA SPHÈRE EST LA SURFACE A VOLUME MAXIMUM. 
vant la normale PP', en P, à la surface proposée, et, 2°, perpendicu 
laire à la tangente LT de la courbe KLM, comme l’étant à deux plans 
Fig. 65. 
F 
qui se coupent suivant LT, savoir, au plan KLM dont il contient la 
perpendiculaire PP' et au plan tangent en L à la surface. 
Par suite, la normale LN à la courbe proposée KLM est dans le 
plan PLP' et va passer par le pied N de la perpendiculaire PP' 
abaissée du point P sur le plan de cette courbe. Comme il en serait 
évidemment de même pour tous les autres plans menés suivant PP' 
et coupant la courbe KLM en des points quelconques, toutes les nor 
males de cette courbe iront passer par le point N, auquel se réduira, 
dès lors, sa développée. Ainsi, la section plane KLM du solide pro 
posé est bien une circonférence, dont le centre se trouve, avec tous 
ceux des sections analogues faites par des plans de même direction, 
sur la perpendiculaire PP' commune à ces plans. 
En conséquence, la surface courbe considérée a une forme de révo 
lution autour de PP'; mais, comme son méridien constitue une autre 
de ses sections planes et ne peut manquer davantage d’être un cercle, 
elle se réduit forcément à une sphère. Donc, la sphère est, de tous les 
corps de même surface, celui qui a le plus grand volume. 
Ce résultat capital, connu dès l’antiquité, et bien facile à démon 
trer, comme on voit, géométriquement, n’a pu encore être établi 
complètement par l’Analyse ( ! ). 
(*) Le calcul des variations y conduit, comme condition de maximum ou de 
minimum, à une équation aux dérivées partielles exprimant que la surface cher 
chée doit avoir partout même courbure moyenne (t. I, p. 260*) ; après quoi il ne 
reste plus qu’à reconnaître, en intégrant celle équation aux dérivées partielles, 
si la sphère est la seule surface continue à courbure moyenne constante. Or c’est 
bien ce qu’a fait M. Jellett ( Journal de Mathématiques pures et appliquées, de 
Liouville, t. XVIII, p. x63 ; 1853 ) pour les surfaces qui ne sont rencontrées qu’en 
un point par les rayons vecteurs émanés d’une origine prise à leur intérieur, mais 
ce qu’on n’a pu faire encore d’une manière entièrement générale.