2 CE QU’ON ENTEND PAR L’INTÉGRATION D’üNE DIFFÉRENTIELLE.
ments infiniment petits qui y composent son accroissement graduel
total, c’est-à-dire la fonction elle-même, si l’on est parti d’un état où
elle fût nulle. Ainsi intégrer, c’est, au fond, rétablir une quantité
dans sa valeur totale, dans ce qu’on peut appeler son intégralité, par
le rapprochement, la sommation, des éléments ou parties infiniment
petites qui la constituent. Ce mot se justifie donc de lui-même,
comme ceux d'intégration et de calcul intégral qui en dérivent.
Nous verrons plus loin que la différentielle d’une fonction peut être
donnée sous diverses formes plus ou moins complexes. Pour le moment,
bornons-nous au cas le plus simple, qui est celui où la quantité in
connue ne dépend que d’une variable, x, et où sa différentielle, donnée
explicitement en fonction de cette variable seule, est de la forme
f{x) dx,f{x) désignant, comme on voit, la fonction connue qui ex
prime sa dérivée. Nous représenterons par F(æ;) la fonction cherchée,
ayant pour différentielle f{x) dx : on l’appelle quelquefois la fonction
primitive de f{x), par opposition à celle-ci, f{x), qui en est dite,
comme nous savons depuis longtemps, la dérivée.
Ces dénominations sont parfaitement justes quand on aborde l’ana
lyse infinitésimale par l’étude des courbes algébriques et des fonctions
algébriques, dont les équations ou expressions finies se présentent
en effet comme primitives, c’est-à-dire comme logiquement antérieures
aux équations différentielles de ces courbes ou aux formules des va
riations infiniment petites de ces fonctions. Mais il n’en est plus de
même dans d’autres questions d’Analyse ou de Géométrie pures, et
surtout quand on se place au point de vue des applications physiques.
En effet, dans la nature, ce sont les différentielles, plutôt que leurs
sommes, qu'on peut regarder comme primitives ; car ce senties chan
gements infiniment petits des quantités concrètes, c’est-à-dire les
flux ou rapidités de variation, que les lois des choses déterminent
immédiatement, en les réglant, il est vrai, à chaque instant, d’après
l’état actuel déjà réalisé, c’est-à-dire d’après les valeurs intégrales pré
sentes du système de quantités dont il s’agit.
214. — Existence et degré d’indétermination de la fonction
dite primitive.
Remarquons qu’il existe toujours, quelle que soit la fonction don-
f [x), une fonction continue F(¿k?), qui répond à la question, ou
dont la dérivée est f{x). Pour le concevoir, imaginons que x soit,
dans le plan xOy, une abscisse horizontale variable, d’abord égale à
une certaine quantité OA = a, que nous appellerons sa valeur initiale,