EXISTENCE DE L’INTÉGRALE OU FONCTION DITE PRIMITIVE.
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puis indéfiniment croissante ou décroissante d’une manière conti
nue. Celte abscisse prendra donc, successivement, des valeurs telles
que OA, OB, OC,.. .. Menons à son extrémité mobile A, B, G,.. ,
une ordonnée verticale y, qui, après avoir eu une première valeur AA/
quelconque, grandisse ou diminue à chaque instant, ou à partir de
Fig. 4a.
chaque valeur x de l'abscisse, de quantités dy égales au produit de la
valeur actuelle de la fonction f{x) par le transport infiniment petit dx
de l’ordonnée, survenu aussitôt après. En d’autres termes, disposons de
la pente, arbitrairement variable entre — oo et + oo, qui définit la di
rection suivant laquelle se meut à chaque instant la seconde extré
mité, A', B', G',.. . de celle ordonnée verticale, de manière à lui faire
prendre sans cesse la valeur actuelle de f{x). Il est clair que, sif{x)
varie graduellement avec x, la seconde extrémité dont il s’agit décrira
dans le plan une certaine courbe, A'B'C'. .., pendant que l’ordonnée
occupera successivement les positions AA', BB', CG',...; et si, au
contraire, la fonction f{x) se trouve être discontinue, mais seulement
pour des valeurs isolées de x, cas où la courbe tracée ne sera bien
continue elle-même que dans l’intervalle de deux discontinuités con
sécutives de f{x), la trajectoire tout entière de la seconde extrémité
de l’ordonnée y possédera encore, aux points anguleux qui y marque
ront le passage d’un intervalle à l’autre, une stricte continuité, ca
ractérisée par l’absence de toute rupture complète (ou séparation).
Or, dans les deux cas, cette trajectoire, une fois construite, définit
parfaitement son ordonnée y en fonction de l’abscisse x\ et la manière
même dont elle a été décrite, ou dont on a réglé à chaque instant sa
direction, montre qu’on y aura partout dy — f {x) dx ou y' =f[x).
Par conséquent, son ordonnée variable y est bien la fonction primi
tive demandée F(æ;) ou, du moins, une fonction primitive, c’est-
à-dire ayant pour différentielle f{x)dx.
