5 
PRÈS. 
tte fonction. 
°oqoeA'.V- 
dont 
eri'ée /( n 
f®i «ne lonc- 
' e Ydes 
lurait 
>/-/(/) 
constante 
t arbitraire, 
générale 
h forme 
don ou con- 
h, on peut 
ne fonction 
c'est-à-dire 
')dx définit 
onction, ou 
1 lie laisse en- 
valeur, dite 
soit implici- 
détermina- 
ire propre à 
elle J[x]à] 
l choisi égale 
ae, ou, ce qui 
égale à 
ordonnée de 
tout la con- 
,,. considé- 
ndra doue à 
«tre initiale- 
lusif des va- 
NOTION D’INTÉGRALE DÉFINIE; SIGNIFICATION DU SIGNE /. 
leurs que sa dilTérentielle f{x) dx reçoit pendant que x, après avoir 
égalé a, éprouve les variations continues ou insensibles dx, d’ailleurs 
complètement arbitraires quant à leurs rapports mutuels et à leurs 
signes, 
La somme de toutes ces valeurs successives de la dilTérentielle 
f[x)dx se représente quelquefois, suivant une notation que nous 
avons déjà employée (t. I, p. 66), parle symbole 'Lf{x)dx. Mais, 
comme les éléments ainsi ajoutés sont infiniment petits et infini 
ment nombreux, en sorte qu’il s’agit d’une limite de sommes {id., p. 65) 
et non d’une somme déterminée, il est bon d’exprimer nettement, au 
moyen cT’une forme spéciale donnée au signe de sommation, l’inten 
tion où l’on est de passer à la limite en faisant décroître tous les 
termes jusqu’à zéro et croître leur nombre au delà de toute grandeur. 
A cet effet, on remplace le 2 grec par le symbole f, dù à Leibnitz et 
qui n’est qu’une S (initiale du mot somme) déformée. C’est ainsi que, 
dans le Calcul différentiel, la substitution de la lettre d à la lettre 
grecque A avait traduit une intention analogue. Et, pour que cette in 
tention se manifeste aussi dans le langage parlé, le symbole f s’énonce 
intégrale, plus particulièrement que somme, de même que le signe d 
s’est appelé différentielle et non différence. Par conséquent, la somme 
des valeurs prises successivement par la différentielle f{x) dx quand 
x varie avec continuité s’écrira f/{x)dx et se lira intégrale de 
f {x) dx ou somme de f{x) dx. 
Cette somme étant égale à F(æ) — F(a) quand la valeur initiale de 
x est a, on aura 
ff{x) dx = F(a?) — F(a). 
Une telle expression s’appelle une intégrale définie. Sa valeur, 
comme on voit, est complètement déterminée, parce qu’on se donne 
celle, a, à partir de laquelle x a commencé à varier; et c’est justement 
cette détermination parfaite qu’on exprime par l’adjectif définie. 
Pour en donner un exemple très simple, posons f{x) =. x et a o, 
ou soit xdx l’expression à intégrer, dans l’hypothèse d’une valeur ini 
tiale nulle de x. Il est clair, par une différentiation immédiate, qu’une 
des fonctions primitives F (x) ayant pour dérivée x est| ¿c 2 ; et, comme 
cette fonction s’évanouit avec x, ou que l’on a ici F (a) = F (o) = o, 
il vient fxdx — \x*-. 
Mais, si l’on n’expliquait pas quelle a été la première valeur de ¿r, 
le terme — F (a) pourrait généralement recevoir, comme a, une infi 
nité de valeurs différentes, comprises ou non entre certaines limites; 
et ce serait (du moins entre ces limites, s’il y restait contenu) une