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ENTRE DES LIMITES DONNÉES, NE DEPEND PAS DU CHEMIN SUIVI. 
et donnons aux valeurs finales considérées x, y, ... des accroissements 
infiniment petits quelconques dx, dy, .... Comme on peut amener 
graduellement les variables, des valeurs initiales a, b, .. ., aux pro 
posées x H- dx, y + dy, . .., en les faisant passer par les précédentes 
valeurs finales x, y, . .., l’intégrale comprendra maintenant, outre les 
mêmes éléments, c’est-à-dire les mêmes différentielles successives, que 
tout à l’heure, la nouvelle partie, assimilable à un dernier élément, 
'Sldx H- N dy ..., dans laquelle x, y, ... seront les précédentes va 
leurs finales et dx, dy,... les excédents, sur celles-là, des valeurs finales 
actuelles. En conséquence, l’accroissement éprouvé par la fonction F 
a la valeur M dx 4- N dy 4- ... quels que soient les rapports mu 
tuels de dx, dy, ... ; ce qui, en choisissant égales à zéro toutes ces 
différentielles à l’exception d’une seule et puis divisant par celle-ci, 
donne pour dérivées partielles en x, y, ... de la fonction F les coef 
ficients mêmes M, N, .... II vient donc, identiquement (ou pour des 
valeurs quelconques de x, y, ... ), M — N — yp-p • • • • Ainsi, 
l’intégrale f (M dx -+- N dy 4- . . . ) dépend, uniquement, des valeurs 
finales des variables ( leurs valeurs initiales restant fixes), à la con 
dition nécessaire que les coefficients M, N, . . . de l’expression pro 
posée M dx 4- N dy 4- ... soient les dérivées partielles respectives 
d’une même fonction par rapport à x, y, .... 
Réciproquement, cette condition est suffisante ; car, dès que M, 
N, ... égalent constamment les dérivées partielles en x, y, ... d’une 
fonction déterminée o(x, y, ... ), chaque valeur de 
M dx 4- N dy 4- .. ., 
correspondant à une variation élémentaire donnée dx, dy, . .. du sys 
tème des variables, représente l’accroissement infiniment petit simul 
tané do de cette fonction, et, par suite, la somme 
F = / ( M dx 4- N dy 4- ...) 
n’est (à la limite) autre chose que l'accroissement total de o, savoir 
co(x,y, ...) — <p(a, b, . . . ), quantité dépendant bien uniquement 
des valeurs finales x, y, . . . des variables, lorsque les valeurs initiales 
a, b, . . . sont fixées, et, par conséquent, ne dépendant pas de leurs 
valeurs intermédiaires. 
La question revient donc à chercher les fonctions cp qui vérifient à 
la fois les équations ff- — M, = N, .... Quand de telles fonctions 
existent, l’expression proposée prend le nom de différentielle exacte ;