CAS DE DEUX VARIABLES, 
et il nous restera, pour déterminer la fonction arbitraire ty{y), la 
deuxième équation (i) qui, vu la valeur (2) de tp, devient 
4-fMdx-hViy) = N, 
(3) = 
Or la fonction ^(/) e b par suite, sa dérivée n’étant astreintes 
jusqu’ici qu’à ne pas dépendre de x, il suffira, pour qu’on puisse 
donner à la valeur N fMclx, que cette valeur soit bien 
a y 
indépendante de x, ou, ce qui revient au même, que la dérivée en x 
de N PM dx se réduise constamment à zéro. Si cette condition 
dy J 
est remplie, l’expression (3) de ty'{y), multipliée par dy et intégrée 
sans faire varier x, donnera 
+00= f( N - 
dy 
/M dx ) dy -+- une constante arbitraire c, 
valeur qui, portée dans (2), achèvera de déterminer la forme de o 
en x et y, 
- f M dx j dy -+- c. 
(4) 
cp = f M dx 
ß 
L’intégration de la différentielle totale M dx -+- N dy en comprendra 
donc généralement deux dans le genre de celle de f {x) dx, c’est-à-dire 
effectuées en n’y faisant changer, pour chacune, qu’une seule variable ; 
la première, celle de M dx, aura lieu en ne faisant varier que x, ou 
elle se fera, comme on dit, par rapport àx] la seconde, relative à y, 
se fera sur l’expression N — —fM dx. 
Mais on voit que les fonctions M et N devront, pour que le problème 
soit possible, satisfaire à la condition, nécessaire et suffisante, de 
rendre nulle identiquement la dérivée en ¿c de N — -~fM dx. Ainsi 
l’on a pour toute condition d’intégrabilité la relation 
d* 
f M dx — o, 
dx dx dy ' 
et comme enfin, par définition, 
dx 
T- ( 4-fM-dx 
dy \dx / 
fMdx n’est autre que M, cette 
4. T,i x t" ? 
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