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Elle signifie, en langage ordinaire, que, dcuxs l expi ession donnes 
Mdæ + N dy, le coefficient affectant la différentielle d’une des 
deux variables doit avoir, par rapport a l autre variable, meme 
dérivée que le coefficient de la différentielle de celle-ci par rapport 
à la première. 
On l'aurait immédiatement prévu en observant que, si la fonction cp 
dM dN 
existe, M, N sont ses deux denvees premières, et que > y— con 
stituent par suite les deux expressions ^ et sa dérivée 
seconde oblique. Mais la démonstration précédente fait voir de plus 
que cette égalité, évidemment nécessaire, des deux dérivées réciproques 
de M et N, est suffisante pour que la fonction cp existe. 
Extension de la méthode précédente au cas d’un nombre 
quelconque de variables. 
Supposons maintenant que l’expression à intégrer soit 
M dx -h N dy -+- P dz. 
ou qu’on ait trois variables x, y, z et, par conséquent, les trois équa 
tions à vérifier 
M c ll 
dx 1 ’ dy 
On pourra d’abord ne considérer que les deux premières, ou choisir, 
parmi toutes les manières possibles de faire varier à la fois x, y et z, 
celles où ^ ne change pas. On sera ainsi ramené au cas de deux va 
riables x, y; et, si la condition d’intégrabilité (5) est satisfaite quel 
que soit z, la formule (4), qui implique deux intégrations, l’une en x, 
l’autre en y, fera connaître la fonction cp la plus générale qui puisse 
de la sorte vérifier les deux premières relations (6). Observons seule 
ment que, dans cette formule (4) et d’après la démonstration même 
qui a conduit à la poser, le terme complémentaire indéterminé c n’est 
astreint qu’à ne pas dépendre de x ni de y : ce n’est qu’en ce sens, ou 
par rapport à x et à y, qu’on l’a dit constant. Dès qu’il y a lieu de 
considérer une nouvelle variable z, il peut donc devenir une fonction 
arbitraire de z. Aussi le désignerons-nous par^(s). Quant à la partie