CONDITIONS D’iNTÉGRABILITÉ. 
T 3 
en général, entrera aussi par M et N, nous l’écrirons simplement 
f (M dx + N dy), pour nous rappeler que ses deux, dérivées respec 
tives en x et y sont M et N. Nous aurons donc, en vertu des deux 
premières équations (6) du problème, comme expression la plus gé 
nérale possible de tp, la suivante 
cp = /(M dx -+- N dy) -+- ijd-s). 
(7) 
où il ne restera d’indéterminé, c’est-à-dire de disponible pour essayer 
de satisfaire à la troisième équation (6), que le terme 'i(s). 
Or cette troisième équation (6) devient aisément, par la substitution 
à cp de sa valeur (7), 
(8) 
D’ailleurs, t|/(3) ne se trouvant astreint qu’à ne pas dépendre de x 
ni de y, on pourra vérifier cette équation (8) si son second membre 
est en effet une expression de acceptable ou indépendante 
de x et de y, c’est-à-dire à la double condition que ses deux dérivées 
partielles en x et en y se réduisent à zéro pour toutes les valeurs pos 
sibles de x, y et z. Il y aura donc deux conditions d’in té grabili lé à 
joindre à la précédente (5), et ce seront, sous une forme condensée 
qui nous est familière, les deux relations 
d P d* 
f (M dx -+- N dy) = o. 
d{x,y) d(x, y) dz 
ou 
d P d d f ( M dx -t- N dy) 
d{x,y) dz d{x, y) 
c’est-à-dire, finalement 
dP _ dM 
dx d z 
(9) 
Ainsi l’introduction de la troisième variable z, ou de la troisième 
équation (6), a pour effet de rendre nécessaires les deux nouvelles 
conditions d’intégrabililé (g); et celles-ci expriment que les deux dé 
rivées, en x et y, du coefficient P affectant la différentielle de la va 
riable nouvelle z, doivent être égales respectivement aux dérivées, 
par rapport à z, des coefficients M et N des différentielles dx et dy. 
Ces conditions sont, comme on voit, analogues à la première, (5), et 
leur nécessité se trouvait également évidente.