,8 différentielles qui s’intégrent immédiatement :
où c, c' désignent des constantes arbitraires ;
' rplTL-\-1
[x m dx = ~- hcfm étant un exposant constant quelconque,
J rn i
positif ou négatif, entier ou fractionnaire ),
dx . C dx
St
— arc tan"t
C dx .
J -=log*
/ . .. — = arcsin3?-i-c ( quand arc sina? est compris entre — j- et ~
s/y — x*
arc sinx -t- c = =jz arc cosa? -+- c' (quand les arcs sont
I r dx
' J Z 1 — x%
quelconques),
/ e x dx — e x - s rc, fcosxdx= sina?-l-c, fsinxdx — — cosa? + c,
/:
dx
= tanga?
r dx
J siu 2 a.'
cota? -|- c.
On vérifie l’exactitude de toutes ces formules en observant que les
seconds membres ont bien pour différentielles les quantités placées
sous le signe f dans les premiers membres.
Faisons les remarques suivantes :
i° L’intégrale de x m dx s’obtient en ajoutant algébriquement i à
l’exposant de la variable et en divisant par son nouvel exposant la
puissance ainsi obtenue. Par exemple, la différentielle s’écrira
yx
_i
d’abord x 2 dx et donnera
/
dx
\jx
— <1\J X ■
2° Cette intégrale f x m dx prend ainsi la forme illusoire (c’est-
à-dire incertaine ou obscure) ——f- c — - -h c dans le cas particulier
m = — i ; et c’est pour suppléer à l’insuffisance de la formule générale
dans ce cas qu’est donnée la seconde formule, J'~gr — loga? -t- c 1 . La
véritable intégrale, contenant alors la fonction transcendante log#,
ne pouvait, en effet, être représentée distinctement par une expression
PQÏÏl~\-\ *
algébrique, telle que ——- -f- c. Elle ne constitue cependant qu’un