quelconque, 
Ttt-i, 
'1 n / 
arcs sont 
=-eosjf+c, 
I~C. 
ervanl que les 
milles placées 
<rif¡ument i à 
el exposant la 
Ile — s’écrira 
illusoire (c’est- 
. cas particulier 
«rintile générale 
: logar +c'.U 
■endantek*, 
une expression 
.pendant qu’un 
REMARQUES DIVERSES. 19 
cas extrême ou limite de celle-ci, comme on le reconnaît en posant 
non pas, tout de suite, m ——i, mais md=z— 1 + et en faisant 
croître indéfiniment n pour que m tende vers — i. Alors le monôme 
^ ^ devient nx n — n '{/x ; et sa partie variable avec x est identique 
à celle de l'expression n\x— /î —/i(y/# — i), qui tend vers log# 
(t. I, p. 5i) quand n y grandit indéfiniment en valeur absolue. Donc 
il suffit de poser c =—/a + c'pour voir la forme algébrique n \jx-\- c 
x m+i 
ou ■ + c, nécessairement insuffisante quand m — — i, donner 
m +1 1 
alors naissance à la forme transcendante log# -+- c'. 
/ dx 
-——1 une même 
/i —^ 
intégrale se trouve exprimée, à volonté, soit par ± arcsin# -f- c, soit par 
qp arc cos# + c'. Et, en effet, le sinus d’un arc étant le cosinus de son 
complément, les deux arcs arc sin#, arc cos#, qui ont respectivement # 
pour sinus et pour cosinus, égalent en somme de sorte qu’on a 
et que les deux fonctions arcsin#, — árceos# diffèrent seulement par 
la constante b ou sont parfaitement équivalentes en ce qui concerne 
leur partie variable, seule à considérer dans une intégrale indé 
finie. 
4° Enfin, la comparaison des diverses formules du tableau précédent 
montre que les différentielles algébriques, comme, par exemple, x m dx, 
— 5 —T? -> ont pour intégrales, les unes, des fonctions algé- 
x 1 — x yj x 
briques, les autres des fonctions transcendantes (qui sont ici des fonc 
tions inverses d’exponentielles, de tangentes ou de sinus); tandis que 
les différentielles transcendantes ont toujours leurs intégrales transcen 
dantes, comme on pouvait le prévoir en observant que la dérivée d’une 
fonction algébrique est toujours algébrique et que, par suite, nulle 
fonction algébrique ne saurait être l’intégrale d’une fonction transcen 
dante. 
Donc, l’intégration, bien supérieure en cela, pour la variété des 
cas, à la différentiation, est une opération qui introduit fréquem 
ment des fonctions transcendantes, quand les expressions d’où l’on 
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