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22 DE L’INTÉGRATION PAR SUBSTITUTION; 
pour la rendre intégrable au moyen des autres règles ou procédés. Ap 
pelons, en effet, t une fonction quelconque de x, et donnons-nous, 
sous la forme x — cp (t), la relation qui la définira. Si dt désigne l’ac 
croissement de t correspondant à un accroissement infiniment petit 
dx de x, on déduira, de x= <p (t), dx=y'{t)dt\ et il viendra 
f{x)dx =/[>(*)] 
Une même différentielle recevra donc une infinité d’expressions diffé 
rentes, suivant la nouvelle variable t qu’on y introduira; et il pourra 
bien se faire que, parmi ces expressions, inégalement compliquées, 
quelqu’une soit intégrable. Il est vrai que, si la première variable x 
se trouve donnée comme indépendante et a toutes ses différentielles 
successives dx égales, la nouvelle, £, ne variera généralement pas d’une 
manière aussi simple. Mais l’intégration, se distinguant, en cela, d’une 
sommation de différences finies, n’en est rendue ni plus, ni moins 
difficile; car la différentielle d’une fonction F (t) est aussi bien F \t) dt 
quand t dépend, suivant une loi continue quelconque, d’une ou de 
plusieurs variables, que lorsque t est indépendant. 
Supposons donc que l’intégrale de/[<f(£)]<p'{t)dt puisse être obte 
nue, et appelons-la F(i). On aura 
/f{x) dx — F( t) -+- const. ; 
et il ne restera plus qu’à remplacer, dans le résultat, t par sa valeur 
en x tirée de l'équation de condition x = 
230. — Premier exemple : intégration d’un produit de la forme 
cos(ax -1- b) cos(a'x 4- b') cos(a"x -+- b").. .dx. 
Comme premier exemple de l’intégration par substitution, considé 
rons une différentielle de la forme f^ax -+- h) ota*,/désignant une fonc 
tion quelconque et a, b deux constantes ou ax~h b une fonction li 
néaire. Prenons le binôme ax-h b pour nouvelle variable, en posant 
d’où 
et 
dx - 
dt 
La différentielle t /(a^r + b)dx deviendra i f{t)dt, et il suffira, comme 
on voit, de savoir intégrer l’expression f[t)dt pour que la proposée 
s’intégre elle-même. 
Supposons, par exemple, que f{ax + b) soit le cosinus ou le sinus 
d’une fonction linéaire de x. On pourra, pour fixer les idées, admettre