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DÉCOMPOSITION DES FRACTIONS RATIONNELLES : 
nôme ®{x) qui doit l’exprimer identiquement, posons 
( X — CjP- 1 
(x— 2) 2 -+- P 2 
fi X ) 
Les parties du second membre qui correspondent aux racines réelles 
x — a x — b 
———— , • • • j du degré n — i en x, ou de degrés moindres; et les 
( x — c ) ( i *= ’ & ’ 
parties suivantes, produits de facteurs du premier degré par les quo- 
tienls (de degrés n — 2q, n 
fix') 
fin) 
-, ■ ■ ■ , sont aussi, elles-mêmes, du 
[(a? — a) 2 -+- [d 2 j7- 1 ' {x 
(x — ¡á 2 
degré n — 1 ou de degrés moindres. Donc toutes ces expressions qui 
forment le second membre de (2), polynômes en ¿c dont les coefficients 
contiennent linéairement les constantes indéterminées A, B, . . . , 
Cp, . . ., Dg, E ? , . . ., donneront en tout un polynôme analogue à cp(ai), 
c’est-à-dire du degré n — i, mais où le coefficient de chaque puis 
sance de x sera une somme de termes proportionnels aux diverses 
constantes A, B, .. ., G /; , .... Et c’est cette somme, pour chacun des 
coefficients totaux des puissances, x n ~ x , ¿c re—2 , . . ., x 2 , x x , x° ou 1, 
de x, qui devra, d’après la question posée, avoir la valeur numé 
rique (fût-elle seulement zéro) du coefficient connu de la même puis 
sance de x dans <p(¿c). 
L’identification des deux membres de (2) fournira donc n équa 
tions du premier degré entre les constantes A, B, ..., Cp, .... 
Or celles-ci sont justement au nombre de n, c’est-à-dire en même 
nombre que les racines de l’équation f(x) — o, puisqu’il en cor 
respond une, A, ou B, etc., à chaque racine réelle simple, qu’il en 
correspond p, savoir G t , C 2 , ..., G^, à chaque racine réelle d’un 
degré p de multiplicité, et, enfin, 2q, qui sont D n E t , ..., D 7 , 
E ? , à chaque couple de racines imaginaires d’un degré q de mul 
tiplicité. Ainsi le système de relations du premier degré obtenu 
entre les constantes A, B, . .. se composera d’autant d’équations 
que d’inconnues; et l’on conçoit qu’il détermine parfaitement ces 
inconnues ou qu’il fournisse, sans ambiguïté, un système unique