/ |0 intégration des différentielles rationnelles 
c’est-à-dire Mlog(tc — c), si x — c est positif, et Mlog(c — x), si 
c’est, au contraire, c — x qui est positif (*). 
Soit, enfin, ( p - y + E )^ ia différentielle à laquelle conduit un 
terme de la troisième espèce. On la débarrasse d’abord de la partie du 
premier degré en x, au numérateur, en remplaçant Da? + E par la 
quantité évidemment équivalente D(Æ-a) + (Da + E); ce qui per 
met de dédoubler la différentielle en deux termes, dont l’un est 
D(x-a)dx _ D — et l’autre, + 
[O —a)2-h pM'« “ 2 L(a? —a; 2 -f- 
Le premier, si bon y pose (x — a) 2 -t- f3 2 
D 
\{x — a 
1 . D 
t, devient — t 
2 
)*-f- ^\' n 
m dt et a 
pour intégrale soit — - 
2 (m — i )t'“~ A 
, c’est-à-dire 
D 
2(ni —• i)[( a? — a) 2 -+- ■* 
quand m dépasse l’unité, soit ^ logi, c’est-à-dire^ log [fx 
ou D log \J{x — a) 2 + p 2 , dans le cas ordinaire m = i. 
Considérons donc le seul terme restant, qui est 
(Da-f-E)a?a7 _ (Da + E)d(a; — a)_ 
[(2?—a) 2 H- $*\" 1 [{x — a ) 2 -+"j3 2 J' M ’ 
«) 2 +P 2 ] 
et divisons-y par le numérateur et le dénominateur. Le résultat 
x — œ 
D a 
pourra évidemment s’écrire 
E 
d 
P 
P* 
P 
Prenons-y en 
fin comme variable auxiliaire l le rapport x et, abstraction faite 
du facteur constant 
Da + E 
ce terme aura la forme, aussi simple que 
(') Cette double forme, log (a; — c) et log(c — x), donnée à l’intégrale de 
a P our b ut de ne faire figurer que des logarithmes réels, des logarithmes 
de nombres positifs. Mais en admettant aussi dans les formules le logarithme ima 
ginaire le plus simple des nombres négatifs, celui qui dépasse de iq/ — i le loga 
rithme de la valeur absolue de ces nombres (t. I, p. 36*), on pourrait se conten 
ter d’une seule des deux formes, puisque log (ai — c) et log(c — x) ne diffèrent 
que par la constante tz\/—i et ont la même partie variable avec x, ou s’équi 
valent en tant qu’intégrales indéfinies.