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■BHrI 
4s intégration des différentielles rationnelles; 
qui, à une constante arbitraire près, n’est autre que 
t I/W —1 
(2 ni — ^(l + i 2 )“- 1 2 m — 1 
L’égalité ci-dessus peut s’écrire, en conséquence, 
t i 
L 
■ I ili—i — 
(2 m — 2)(i -i- t 2 )' 
\-m-i -H const, arbitraire. 
Si donc nous isolons \ m dans le premier membre et que nous groupions, 
dans le second, les termes en l m - u puis que nous remplacions l m , I /n _! 
, . r dt r dt ... 1 
parleurs expressions / 7 —— et / —— il viendra, en sup- 
I V J ( i + i îyn J ^^¿iyn-L ’ f 
posant d’ailleurs la constante arbitraire du second membre implicite 
ment contenue dans le terme qui s’y trouve affecté du signe f, 
(h) 
h 
dt 
t 2 y 
(2 m — 2 ) ( 1 -+-1 2 )' 
- f- 
■¿J (1 
dt 
-+- t 2 ) m ~i 
Telle est la formule qui, appliquée m — 1 fois, permettra d’abaisser 
l’exposant m de m — 1 unités, de manière à le réduire à la valeur 1. 
L’intégrale proposée I„, se trouvera ainsi exprimée au moyen de m — 1 
termes algébriques et d’un dernier terme, transcendant, en 
/t 
dt 
arc tang t. 
terme a 
Il est bon d’observer à cet égard que, si l’on voulait ramener ce 
àl 0 = = ^ + const., en posant m — 1 dans (11), le dé 
nominateur 2 m — 2, qui paraît dans chacun des deux termes variables 
du second membre, s’annulerait et rendrait ce second membre illu 
soire, comme il est arrivé plus haut (p. 18) pour la relation 
dx 
c, 
dans le cas m — — 1. Il en est ainsi toutes les fois qu’on veut repré 
senter algébriquement une fonction transcendante. L’expression 
dont celle-ci constitue un cas limite acquiert des coefficients ou des 
exposants infinis qui ne lui permettent de donner qu’une réponse en 
quelque sorte évasive, ou s’évanouissant dès qu’on lui impose d’être 
exacte et non plus seulement approchée. 
Ln résumé, les différentielles rationnelles peuvent toujours s’in 
tégrer sous forme finie, en ce sens que leurs intégrales comprennent 
un nombre limité de termes soit algébriques, soit affectés des trans-