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EXEMPLE. 
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cendantes les plus simples : les termes algébriques y sont rationnels 
et les termes transcendants y sont des fonctions inverses, loga 
rithmes ou arcs tangente, d’expressions entières par rapport à la 
variable. Les arcs tangente y deviendront d’ailleurs des arcs sinus ou 
des arcs cosinus si l’on y fait paraître un sinus ou un cosinus au lieu 
de la tangente, en fonction de laquelle on sait que le sinus ou le co 
sinus du même arc s’expriment algébriquement. 
Ces résultats remarquables ont été obtenus vers 1702 par Leibnitz 
et Jean Bernoulli : ils constituent le chapitre en quelque sorte le plus 
simple, il est vrai, mais aussi le plus achevé du Calcul intégral. 
^, _ , . . , x*-+- a* , 
244. — Exemple : integration de — : dx. 
x* — a* 
Éclaircissons, par un exemple, ce que pourrait avoir de trop général 
ou de trop abstrait la théorie précédente. Prenons F (x) — x'*-\-a**, 
f (x)~ x l — a 4 ; ou soit à intégrer l’expression d x • 
La division du numérateur par le dénominateur donne d’abord 
F (a?) 1 a h 
f{x) ’ x 4 — a* ’ 
et il reste à décomposer la fraction rationnelle — 3 °—-• Pour cela, 
r x* — a 4 
conformément à la marche indiquée, cherchons les racines de l’équa 
tion f{x) — o, c’est-à-dire x 4 — a h — o, ou mieux, résolvons x h —a k 
en facteurs réels aussi simples que possible. Il vient évidemment 
x i — a!* — {x 2 — a 2 ) {x 2 H- a 2 ) ; et, d’ailleurs, x 2 — a 2 — {x— a) {x-\- a), 
tandis que le facteur x 2 -\- a 2 , somme de deux carrés, ne pourrait se 
dédoubler qu’en facteurs imaginaires. Ainsi, l’on aura définitivement 
x h — a’ t — {x — a) (x + a) (x 2 + a 2 ) ; et il s’agira de décomposer 
2 a 4 
x*—■ a k 
en trois fractions simples, ayant respectivement les formes —-» 
B G^-hD „ 
5 — —• Posons donc 
x -r -a x' 1 -h a 2 
(12) 
c’est-à-dire 
2 a 4 _ A B Ga?-+-D 
x 4 — a 4 x — a ‘ x -t- a 1 x' 1 -+- a 2 ’ 
2ii 4 = A 
x'* — a’* 
x — a 
B 
x'* — a 4 ^ x 1 * — a 4 
;—~ •+• CjX -r~,—? 
x -h a ¿r 2 -}- a 1 
+ D 
x 4 — a 4 
— -•> 
x z -t- a-