■' ez souvent 
si-à-dire 
devient 
f| i la valeur 
du résultat 
, être 
DIFFERENTIELLES CONTENANT DEUX RADICAUX CARRES, ETC. 
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250. — Troisième type : différentielles qui contiennent deux radicaux 
carrés, portant sur deux binômes du premier degré. 
Considérons, en troisième lien, les différentielles de la forme 
/(^ y/ax -4- b, y/a'x -t- b') dx, 
où f désigne une fonction rationnelle quelconque des trois quantités 
x, \/ ax -i- b, \Ja'x -t- b' ; eu sorte qu’il s’y trouve deux radicaux carrés 
portant sur deux fonctions linéaires. Prenons l’un de ces radicaux 
pour nouvelle variable, en posant, par exemple, 
y/ ax -t- b = t ; 
d’où 
t 2 , 
~b 
dx 
ai dt 
f 
L’expression à intégrer, f\x, \jax-\- b, y/a'x -+- b 1 ) dx, deviendra 
t 2 — b 
■’ t, 
(<»- b 
‘i t dt 
différentielle dans laquelle il 
ne paraît plus qu’un seul radical carré, portant sur l’expression du 
second degré — t 2 
b' 
bj. Elle rentre par conséquent dans b 
deuxième type traité ci-dessus; et une nouvelle substitution, em 
pruntée à l’un des trois procédés qui s’y rapportent, la rendra ration ■ 
nelle ou permettra de l’intégrer. 
251. — Quatrième type de différentielles irrationnelles : différentielle 
binôme ((1^+ bxPydx. 
oir effectué un | 
preuve, par la 
liât; car, sans 
e Je ne s’ètre 
généralement 
intégrales dans 
.j d’une courbe 
Passons à un quatrième type assez usuel de différentielles irration 
nelles, type se distinguant des précédents en ce qu’on ne sait l’intégrer 
sous forme finie que dans certains cas spéciaux, dits cas d’intégrabi- 
lité : c’est celui des différentielles binômes. On appelle ainsi les 
expressions de la forme {ax 0 --h bxP)P dx, où l’exposant p doit être 
supposé fractionnaire : car, s’il était entier, positif ou négatif, la puis 
sance p ième du binôme ax 0 --1- bxP se développerait exactement, en 
numérateur ou en dénominateur, sous la forme d’un polynôme fini 
contenant des puissances entières de x° ou xP; et il ne resterait, tout 
au plus, que des irrationnelles monômes (pour a ou p fractionnaires), 
de sorte qu’on serait ramené au premier type. 
En mettant le binôme ax a -j- bxP sous la forme x°(a + bxP~ a ), la 
différentielle proposée devient x°p{a -t- bxP~°)P dx, ou, plus simple 
ment, x m {a-{-hx' 1 )Pdx si l’on pose v.p~m et ¡3 — a — n. C’est d’ordi 
naire à cette forme, x m (a-f- bx n ) p dx, que l’on réduit les différen 
tielles binômes. On peut même y supposer m et n entiers; car, lorsque