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¿2 intégration des différentielles algébriques :
kl
ces exposants sont des fractions - , - (censées réduites à un môme dé-
1
nominateur positif q), en prenant le radical xi pour nouvelle variable,
ou posant
i '1 L
x<l —t et, par suite, x — ti, dx = qi^ dt, X e ! = t k , X e ) — t 1 ,
on obtient, pour la différentielle proposée, qt k+ v~ l (a -h bt l ) p dt] ce
qui, abstraction faite du facteur constant q et à part la substitution
de t kx, est bien une différentielle binôme de la forme
x m ( a -i- h x n )p dx,
dans laquelle les deux exposants in et n de la variable ont les valeurs
entières k + q ■— i et /. Une remarque dont nous aurons besoin tout
à l’heure est que, dans cette transformation, le rapport m ne
4- X
change pas : il était d’abord ^ -
—■, quand on avait m — - ,
l t • k
— : et il est aussi —
q
maintenant que m—k-\-q — x, n~l.
Cela posé, tous les moyens que l’on connaît, pour intégrer en termes
finis, quand c’est possible, la différentielle binôme x m {a H- bx n ) p dx,
reviennent à mettre cette expression sous l’une des deux formes, évi
demment équivalentes, x rn {a + bx n ) p dx, x m+np {b H- ax~ n ) p dx,
et à prendre pour nouvelle variable la quantité entre parenthèses, qui
est a + bx n dans le premier cas, b -+- ax~ n dans le second.
Posons, par exemple,
a-^-bx ,l —t, d’où x —
b
et
7 I 1 /
dx = - (t
b 11
a) n dt.
L’expression proposée, x m (a + bx n ) p dx, deviendra
7M+1
é dr-, tPdv,
et elle ne contiendra que l’irrationnelle monôme t p si l’exposant,
m 4- x
— i, de t — a, est entier, ou, ce qui revient au même, si
( 2 8)
= un nombre entier.