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SIGNIFICATION DES INTÉGRALES DÉFINIES ;
Ainsi, de quelque manière continue que varie, à partir de a et jus
qu’à h, la quantité x, soit en augmentant ou en diminuant toujours,
soit en passant par plusieurs alternatives d’accroissement et de décrois
sement, il viendra
(i) f(x o) dx 0+ f{æi)dasq-t- . . . -+-/(#«-! ) dx n - x ou ff(x) dx = F (b) — F (a).
Longtemjîs on a représenté une telle intégrale définie par f f(x)dx,
sans j faire figurer les limites, inférieure et supérieure, qui en fixent
l’étendue et rendent sa signification déterminée. Fourier, géomètre
éminent du commencement de ce siècle, a très heureusement complété
cette notation en inscrivant, au bas du signe f, la limite inférieure et,
au haut du même signe, la limite supérieure. Par exemple, l’intégrale
b
ci-dessus s’écrira I f[x)dx et s’énoncera somme (on intégrale),
depuis a jusqu’à b, de f{x) dx. On a eu de même, plus récemment,
l’idée d’exprimer la différence, F(6) — F(a), des deux valeurs que
prend une fonction F (x) à deux limites b et a, en mettant entre
crochets ou entre parenthèses l’expression considérée et en inscrivant,
à la suite, les deux limites, l’une a, au bas, l’autre b, en haut. Grâce
à ces notations, la relation (i) se mettra donc sous la forme très con
densée
/.
a
253. — Propriétés diverses qui en résultent.
Plusieurs remarques importantes découlent immédiatement des
considérations qui précèdent.
i° On peut partager la suite des éléments de Vintégrale en un
nombre quelconque de groupes, contenant chacun une infinité
d’éléments consécutifs, et constituant tout autant cVintégrales par
tielles. On fera, par exemple, varier x non pas, d’un seul coup, de a
à b, mais de a à une valeur quelconque c, puis de c à une autre valeur
quelconque h, et ainsi de suite, pourvu que, finalement, x s’arrête à
la valeur b : c’est ce qu’exprimera, par exemple, l’égalité
p ¿ pC ,.h b
(3) f f{x)dx— I f(x) dx -+- / f(x)dx-1- f(x)dx.
a
c
Et rien n’obligera même à prendre, pour les limites auxiliaires c,
h, ..., des quantités comprises entre les limites données a, b; car