LEURS PROPRIÉTÉS LES PLUS SIMPLES.
nous avons vu que x n’est pas astreint à varier toujours dans un même
sens, c’est-à-dire de a vers b. Toutefois, pour plus de simplicité et
pour éviter parfois certaines difficultés, provenant de ce que la
fonction f{x) pourrait devenir infinie ou mal déterminée en dehors
de l’intervalle des limites «, b, on suppose, à moins d’avis contraire,
que x varie constamment de a vers b, en grandissant sans cesse ou
diminuant sans cesse, de sorte que tous les dx aient le même signe.
2° Quand on échange entre elles les deux limites, l’intégrale
conserve la même valeur absolue, mais prend signe contraire. En
a
f{x)dx. Effectivement, on a
d’autres
d’après la remarque précédente
ffx)dx+ f f{x)dx = f{x) dx.
a
Or l’intégrale / f{x)dx est identiquement nulle, vu qu’elle ne
contient point d’éléments, son champ a — a se trouvant réduit à zéro.
On pourra donc toujours, en changeant, s’il le faut, le signe de l’in
tégrale, avoir une limite supérieure plus grande que la limite infé
rieure. Comme, de plus, la variable d’intégration, x, sera censée
aller constamment de sa limite inférieure vers sa limite supérieure,
elle croîtra, et toutes ses différentielles dx seront positives. C’est ce
que nous supposerons désormais à moins d’avis contraire.
3° Quand, pour toute valeur de x intermédiaire entre les limites
a, b, la fonction f[x)se trouve comprise entre deux autres, y{x) et
^{x), l’intégrale proposée f f{x) dx est aussi comprise entre les
deux intégrales / cp(x) dx et f ty{x) dx.
En effet, lorsqu’on a
<pO) </0) <
(4)
pour toutes les valeurs considérées de x, il vient, en multipliant les
trois membres de cette inégalité par le facteur positif dx,
y(x) dx < f{x) dx < dx,
et, si l’on failles sommes des valeurs que reçoivent simultanément les
trois membres de celle-ci quand x croît de a à b, la première des
b
trois sommes, / © (x) dx, est moindre que la deuxième, f{x)dx,
laquelle se trouve, elle-même, plus petite que la troisième, tyfi) dx.