INTÉGRALES DEFINIES ÉVALUABLES PAR DES RÉDUCTIONS SUCCESSIVES. 5y 
part l’insignifiant changement de nom de la variable, est bien la même 
TC 
chose que f cos x dx. On aura 
«• o 
TC TC 
r i Í* 2 . — ■ 71 
(8) 1 sinxdx — / cosa; dx = (sina?) 2 = sin smo=i. 
C 0 «A 
2S7. 
Autre exemple, consistant dans í sin m xdx et j" 
dn do 
cos m x dx 
(avec m entier et positif), où le calcul se fait par réductions succes 
sives; formule de Wallis. 
Des intégrales un peu moins simples à calculer sont les deux pré 
cédentes (3°), quand on y affecte, sous le signe f, la fonction cosa? ou 
sina? d’un exposant entier et positif quelconque m. On reconnaîtra 
d’abord, par la même substitution de ^ — t à a?, que ces deux inté 
grales continuent, môme alors, à ne pas différer l’une de l’autre. Appe- 
TT 
lons-les, pour abréger, l m , ou posons, par exemple, Ç ùn m xdx—\ m . 
'0 
D’après un résultat établi dans la XXII ième Leçon (p. 3a), l’intégrale 
indéfinie correspondante se réduira au moyen de la formule 
„ . , sin" 1 “ 1 a? cosa? m — r , . „ , 
(o) f sm m xdx — i / sm m ~ % xdx\ 
7 m m 
et il est clair qu’en indiquant la différence des deux valeurs prises 
. . TC 
par chaque terme du second membre aux limites x — o, x — - » on 
obtiendra, pour I,„, l’expression 
— ( sin" 1 “ 1 a? cosa?) 2 
m o 
m — 
m 
-r* 
sin 1 "“ 2 a? dx. 
Or le premier terme de celle-ci (appelé, dans tous les cas analogues, 
terme intégré ou terme aux limites) s’annule, à cause du facteur 
sin" 1_1 a?, à la limite inférieure x = o; et il s’annule aussi, à cause du 
facteur cosa?, à la limite supérieure x = Ce terme ne donne donc 
rien dans l’intégrale définie considérée; et il vient simplement 
io) / si 
d0 
sin m x dx = 
-T- 
î-2 a?<ia?, ou 
r - m ~ ' \ 
1 rn 1 ni. —9 •