mmmwHH 
64 INTÉGRALES DÉFINIES DANS LESQUELLES LA FONCTION SOUS LE SIGNE / 
qu’elle y rend, au contraire, l’intégrale ff{x)dx infinie, dès que 
l’exposant m atteint l’unité. Donc, lorsqu’une fonctionf{x) ne gran 
dira pas plus vite, à l’approche de la valeur critique considérée, 
que ne le fait près de x — o une puissance de ~ moins rapidement 
croissante que la première, l’intégrale restera finie et déterminée 
à l’instant où sa limite atteindra la valeur critique; mais lorsque, 
au contraire, la fonction f{x) grandira aussi vite ou plus vite, 
près de la valeur critique, que la fonction - ci l’approche de x — o, 
l’intégrale f j\x)dx deviendra infinie ci l’instant où l’une de ses 
deux limites atteindra la valeur critique dont il s’agit. 
Par exemple, dans l’intégrale / (i—u 2 )~ m dx, avec m compris 
do 
entre zéro et i, la fonction sous le signe f, 
( I -— II' 2 )~ m OU ( I -+- U )~ m ( I — U )~ m , 
exprimée, en posant i — u — x, par (2 — x)~ m x~ m , varie sensible 
ment, près de la limite U—i, comme son facteur (1 — u)~ m , c’est- 
à-dire comme x~ m à l’approche de x — o ; car son rapport, (1 h- u)~ m , 
à ce facteur (1 — u)~ m ou x~ m , y égale à fort peu près la constante 
2 m . Or je dis qu’il résulte de là, pour f{ 1 — u 2 )~ m du, une valeur 
finie. En effet, dans les deux intégrales 
(1—u 2 )~ m du et 
/ 
(1 
~ m du, 
le rapport, (1 + u)~ m ou, très sensiblement, 2~ m , de deux éléments 
voisins de la limite supérieure, et d’ailleurs quelconques mais cor 
respondant tant à une même valeur de u qu’à un même intervalle du, 
ne variera qu’extrêmement peu avec u; d’où il suit qu’il ne différera 
pas, d’une manière appréciable, du rapport même des deux sommes 
respectives, qu’il s’agit d’examiner ici, formées avec ces éléments, de 
puis une première valeur de u, déjà très peu différente de 1, jusqu’à une 
autre tendant vers 1. Et comme, dans f {1 — u)~ m du — f x~ m dx, la 
somme en question, relative aux très petites valeurs positives de x, a 
été reconnue évanouissante, elle le sera aussi dans f{ 1 — u~)~ m du. 
Si la fonction f{x) est infinie aux deux limites a, b, on ne prendra 
l’intégrale, jirovisoirement, qu’entre deux limites, a-f- s et b — s t , voi 
sines de a et b, dans l’intervalle desquelles f{x) restera finie; et l’on 
verra ensuite ce qui arrivera quand, e et s, s’annulant, les deux li 
mites proposées a, b se trouveront atteintes. Par exemple, la discus- 
i* ■ u immv