DEVIENT INFINIE AUX DEUX LIMITES OU ENTRE LES LIMITES. 
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sion précédenle sur l’intégrale / (i — u' 2 )~ m du montrera de meme 
•A) 
que j (i — u i )~ m du est finie pour les valeurs de m comprises entre 
zéro et i. C’est ce que donne immédiatement, dans le cas m — l’in 
tégration effective; car on a 
07) / -F 
«7-1 y 7 ! 
du 
u 2 
: (arcsin m)1j — arcsin i — arcsin(—i)— 
Enfin, si la fonction f (x) devient infinie pour certaines valeurs de 
x, c par exemple, intermédiaires entre les limites a et b, on décom 
posera l’intégrale en intégrales partielles, telles que / f{x)dx et 
(l 
J l f{x)dx, se terminant ou commençant à ces valeurs critiques, et 
C-hZi 
dont on exclura même provisoirement les éléments qui en sont voi 
sins, sauf à les restituer peu à peu pour voir ce que l’annulation de e 
et ôj fera des intégrales partielles. Si ces dernières restent finies même 
à la limite, l'intégrale proposée, qui est leur somme, sera évidemment 
finie aussi et bien déterminée. Si, au contraire, quelques-unes de 
viennent infinies, eu étant d’ailleurs toutes positives ou toutes néga 
tives, l’intégrale proposée le sera de même. Enfin, celle-ci devient 
indéterminée, quand les intégrales partielles infinies qui la compo 
sent ont des signes divers et, en L’absence de toute condition réglant 
leurs différences mutuelles, se neutralisent dans une mesure arbi 
traire. 
... - . /' ^ dx 
Considérons, par exemple, l’intégrale / — ■> dont les éléments 
sont négatifs de x — — i à x = o, positifs de x — o à x — i, et où la 
fonction sous le signe f, \ devient infinie pour x = o. On dédou 
blera l’intégrale en 
f “ — [logf— x)]zf = loge et Ç ^ = (log^)l, — — loge t . 
dont la somme, loge — log£, ou log — > prend telle valeur qu’on veut 
£ i 
si petits que soient £ et e l9 puisque rien n’oblige à faire tendre le rap 
port — vers aucune limite. Ainsi l’intégrale f — est indéterminée, 
£ i ' ./_! sc 
B. — II. Partie élémentaire. 5