Von Verhältnissen und Proportionen. 131
auch genau durch eine Zahl ausgedrückt wird, oder auch
mit einem Fehler, der aber so klein gemacht werden
kann, als man will.
Beweis. Der Satz folgt eigentlich unmittelbar aus der Er
klärung; denn hat man zwei Linien A und B vor sich, und
man findet/ daß der rate Theil von A, »mal genommen/
genau B mißt/ so ist klar/ daß sich die Linie A ; B genau/
wie die Zahlen m n verhalten.
Fände sich aber kein Theil von A/ durch welchen B genau ge
messen würde/ es fei nun/ daß es keinen solchen Theil giebt,
oder daß man ihn nur nicht kennt; so ist klar, daß, wenn
man dennoch B mit dem raten Theile von A mißt, der
letzte Rest, der sich nicht mehr messen läßt, kleiner sei, als
der messende Theil. Da man nun aber in Gedanken A
in beliebig viele Theile theilen, und also Einen solchen
Theil so klein machen kann, wie man will, so ist klar, daß
man auch den nicht meßbaren Rest von B kleiner machen
könne, als jede gegebene Größe. Wenn also A in ra Theile
getheilt gedacht wird, und man annimmt, daß auf B solcher
ganzen Theile n gehen; so drückt die Zahl ra zwar den
Werth von A genau ans, aber n drückt die Größe von B
mit einem Fehler aus, der kleiner ist, als der rate Theil
von A. Ist dieser Theil nun so klein, daß ein Rest, der
noch kleiner ist, aus der Acht gelassen werden darf; so kann
man allerdings sagen, daß das Verhältniß A - B durch das
Verhältniß zweier ganzen Zahlen ra: n ausgedrückt sei.
Die einzige hiebei zu machende Arbeit sei die Auflösung fol
gender Aufgabe:
Zwei beliebige gerade Linien A und B zu zeichnen, und ihr
Verhältniß durch zwei ganze Zahlen so zu bestimmen, daß
der Fehler der zweiten Zahl kleiner sei, als der sechzehnte
Theil von A.
Anmerkung. Man wird leicht bemerken, daß, wenn hier von
theilen und messen geredet wird, nicht die Rede sei von Ar
beiten der Hand und des Auges, sondern des Verstandes.
Auge und Hand kommen mit dem Theilen und Messen bald
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