Von Verhältnissen und Proportionen. 443
Auch dieser Beweis kann auf ganz ähnliche Art/ wie bei den
beiden vorhergehenden §. §. geführt werde«/ nur kommt
hier (§, 9.) statt (§. 7. und 8.) in Betrachtung.
§. 25. Zusatz c.
Es ist leicht einzusehen, daß man durch Verbindung
von (§.21, 22, 23. und 24.) aus jeder Proportion
eine Menge anderer ableiten könne.
Wieviel Proportionen erhalt man wohl, wenn man auf eine
gegebene Proportion erst von (§.22,23. und 24.) und dann
auf alle vorliegenden (mit Einschluß der gegebenen) von
(§.2i.) Anwendung macht?
Im Hauptheft ist es genug, diese Fragen bestimmt zu beant
worten. Im Übungsheft aber sind aus einer Buchstaben
proportion, wirklich alle diese Proportionen abzuleiten.
Anmerkung. Eigentlich kann aus einer einzigen Proportion
eine Unendlichkeit von anderen richtigen Proportionen abge
leitet werden. Denn theils kann man (§. 22. bis 24.) wie
derholt auf jede abgeleitete Proportion anwenden, theils
kann man nach (§. 10. und ii.) noch andere Veränderun
gen mit einer Proportion vornehmen. Man kann nämlich
unbeschadet der Richtigkeit das erste und zweite Glied, des
gleichen das dritte und vierte mit einer und derselben Zahl
multipliciren oder dividiren. Ja, aus (§. 20.) wird man
leicht schließen, daß man eben so auch das erste und dritte,
desgleichen das zweite und vierte Glied, mit einer und der
selben Zahl multipliciren oder dividiren könne. Durch An
wendung aller dieser Sätze ist es möglich, aus jeder Zah
len - Proportion jede andere beliebige abzuleiten.
Zu einer nützlichen Übung in der Anwendung der vorgetrage
nen Sätze wähle man sich im Übungsheft zwei ganz belie
bige Zahlen - Proportionen (z. B. 6 : 17 = iS : 51 und
15 : 9 = 5 : 3) und versuche nun durch dergleichen Ab
änderungen die eine in die andere zu verwandeln. Möglich
ist die Verwandlung jederzeit; man muß aber suchen mit
der möglichst geringen Anzahl von Abänderungen fertig
zu werden.