Von Verhältnissen und Proportionen. 147
Theil derselben als ein Bruch vorgestellt werden könne/
dessen Zähler 1/ und -essen Nenner eine ganze Zahl ist/
(als h h h I u.f,w./ und/ wenn n eine ganze Zahl be
deutet/ ss).
Ist nun n irgend eine beliebige noch fo große ganze Zahl/ so
laßt sich ohne Schwierigkeit beweisen/ daß es zwei Linien
AB und CF (Fig. 112,) (oder zwei andere Größen) geben
könne/ deren Verhältniß so beschaffen ist/ daß die eine CF
weder durch von AB/ noch durch irgend einen andern
genauen Theil von AB, dessen Nenner kleiner als n
ist/ gemessen werden kann.
Zu dem Ende sei CO irgend ein genaues Vielfaches von4 AB.
Jetzt stelle man sich vor/ daß AB auch in n — i, n — 2,
n — 3 je. Theile,bls zu 2 und i Theil herab getheilt wor
den, und daß jeder solcher Theil auf CO von C aus so oft/
als es angeht/ sei getragen worden/ daß man aber bei je
dem Theile höchstens bis v/ bei keinem über O hinaus ge
schritten sei; so ist klar/ daß unter v eine Menge Theil
punkte liegen werden/ nämlich von solchen Theilen, durch
welche sich CD nicht genau messen ließ. Irgend einer die
ser Theilpunkte muß der nächste bei 0 sein. Dieser sei F.
Da E mit O nicht zusammenfällt/ so ist zwischen ihnen noch
eine Ausdehnung EO. Innerhalb dieser nehme man ir
gendwo den Punkt F/ so ist augenscheinlich, daß CF eine
Länge ist, die weder durch i, noch durch i, rc. bis
~ von AB gemessen wird.
Diese Schlüsse bleiben aber gültig, wie groß man auch n an
nehme. Da nun der Verstand in der Vergrößerung von n
durchaus keine Gränzen kennt, so kann man auch n unend
lich groß denken, und dann ist klar, daß kein einziger end
licher genauer Theil von AB die CF messen werde, d. h.,
AB und CF werden incommensurabel sein.
§.4. A n m e r k u n g.
Man sieht leicht ein, daß, wenn im vorigen §.
von Theilungen der AB geredet wird, nicht von solchen
Theilungen die Rede sein könne, die vermittelst der Hand
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