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Zwölfter Abschnitt. 
drei Verhältnisse AB : AD, AC : AE, BC : DE gleich 
wären. Trifft aber DE auf keinen Theilpunkt, wie in der 
Figur, wo I) zwischen dem 6ten und 7ten Theilvunkte liegt, 
so kann der Beweis auf folgende Art geführt werden. Wenn 
nämlich die drei Hinterglieder der kurz vorher angeführten 
Verhältnisse durch Zahlen ausgedrückt werden sollten, wozu 
jedes Vorderglied die Einheit wäre, so läßt sich zeigen, daß 
diese Zahlen, Ziffer für Ziffer, gleich sein würden. So ent 
halt AO in der Figur sechs Zehntel (o, 6) von AB nebst 
einem Rest, der kleiner ist als ^AB. Zieht man ferner die 
Linien FG, Hl parallel mit DE durch die beiden dem 
Punkte D nächsten Theilpunkte H und F, desgleichen durch 
G die Linie GK parallel mit AB, so ist klar, daß auch 
AE sechs Zehntel (0, 6) von AG enthalte, nebst einem 
Reste, der kleiner als yö AC ist. Eben so leicht überzeugt 
man sich, daß DE (— DL + LE) sechs Zehntel von BG 
nebst einem Reste, der kleiner ist als ¿BC, enthalte. Aus 
Betrachtung des kleinen Dreiecks GEI aber ergiebt sich 
durch ähnliche Schlüsse, daß die Linien AD, AE und DE 
auch gleich viel Hundertel, Tausendtel, Zehntausendtel re. 
ihrer Einheit enthalten würden. Woraus folgt, daß sie 
p gegen die Vorderglieder ihrer Verhältnisse gleiche relative 
Größe ha-ben, und daß folglich diese Verhältnisse selbst gleich 
sind (XI. i und 4.). 
§. ä. Zusa tz. 
Wenn man (XI. 23.) desgleichen (XI. 6. c.) auf 
die Proportion AB -. AD — AC : AE anwendet, so 
ergeben sich mehrere Proportionen, von welchen besonders 
diejenigen zu merken sind, welche sich nicht bloß durch 
die Ordnung der Glieder (XI. 21.) unterscheiden. 
Diese Proportionen sind aufzuschreiben. 
$.6. Zusatz. 
Eine unmittelbare Folge aus (§. 3. und 4.) ist die 
Aufgabe: Eine gegebene Linie, einer anderen gegebenen,