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Zwölfter Abschnitt. 
Winkel bei A und a, bei B und b, bei C und c vergleicht 
uni) damit (§. 9.) verbindet. 
§.13. Lehrsatz. 
Wenn zwei Seiten eines Dreiecks einzeln gegen 
zwei Seiten eines andern Dreiecks einerlei Verhältniß 
haben, die Winkel aber, welche von diesen Seiten in 
beiden Dreiecken eingeschlossen werden, gleich sind, so 
sind die Dreiecke ähnlich. 
Anleitung zum Beweise. In den Dreiecken ABC, DEF 
(Fig. 115. und 116.), sind die Verhältnisse AL : DE und 
AC : DF, desgleichen die Winkel BAC, EDF gleich; es 
soll bewiesen werden, daß die Dreiecke ähnlich sind; d. h., 
es ist zu beweisen, daß rc. 
Für den Beweis mache man AG ----- DF, AH — DE, und 
ziehe GH, so sind i) die Dreiecke DEF und AHG nach 
(III. 6.) congruent, 2) ist HG mit BC nach (§.7. dieses 
Abschnittes) parallel, woraus alles übrige auf ähnliche Art, 
wie in (§. io.) abgeleitet werden kann. 
§.1.4. L e h r sa tz. 
Wenn alle drei Seiten eines Dreiecks einzeln gegen 
die dre Seiten eines anderen einerlei Verhältniß haben, 
so sind die Dreiecke ähnlich. 
Anleitung zum Beweise. In den Dreiecken ABC, DEF 
(Fig. 115. und n6.) seien die drei Verhältnisse AB - DE, 
AC : DF und BC : EF gleich; es soll bewiesen werden, 
daß die Dreiecke ähnlich sind; d. h-, es ist zu beweisen, 
daß rc. 
Zur Führung des Beweises muß man, wie im vorigen ß. AH 
— DE und AG = DF machen und HG ziehen, dann sind 
die Sätze anzuwenden, aus welchen i) der Parallelismus 
von HG und BC, 2) die Ähnlichkeit der Dreiecke ABC, 
AHG folgt; 3) aus dieser Ähnlichkeit folgt die Proportion 
AC : AG — BC : hg. Vergleicht man diese Proportion