Proport, im Kreise, Ähnlichkeit d. Polygone. 189 
Anleitung zum Beweise. In (Fig. 137.) ist von dem 
Punkte der Peripherie B ein Loth BC auf den Radius AE 
gefällt, und eine Tangente BI) gezogen, welche die Ver 
längerung des Radius in D schneidet. Es ist nun zu be 
weisen, a) fcstfj CE : ED = CB ; BI), und wenn man auf 
der Peripherie des Kreises irgend einen anderen Punkt, z. B. 
E, annimmt, und von C und I) die Linien CF und DF 
zieht, ebenfalls CF : FD = CB : BD, oder = CE - ED. 
Zum Beweise von (a) ziehe man den Radius AB, so erhalt 
man das bei B rechtwinklige Dreieck ABD (VII. 3.), und 
darin die Proportion AB - AC---AI) : AB (z.i.des Abschn.). 
Setzt man in dieser für AB das ihm gleiche AE, so erhält 
man AE : AC — AD : AE, und daraus nach (XI. 23.) 
CE : AE = ED : AD, oder nach (XI. 20.) CE : EI) — 
AE : AD = AB ; AD. Es ist aber AB : AD — CB : BD 
(§. i. des Absch.), woraus die Richtigkeit von (a) unmittel 
bar folgt. 
Um (b) zu beweisen ziehe man den Halbmesser AF. Aus der 
Betrachtung des rechtwinkligen Dreiecks ABD ergiebt sich 
die Proportion AC : AB — AB : AD. Da AB — AF, 
wird diese jetzt AC : AF — AF; AD, woraus nach (XII. 13.) 
die Ähnlichkeit der Dreiecke AFC und ADF folgt. Aus 
dieser ergiebt sich dann CF FD = AC : AF — AC .-AB 
— CB : BD j was erwiesen werden sollte. 
Da der Punkt G auch in der Peripherie liegt, so muß zur 
Allgemeinheit des Satzes noch bewiesen werden, daß auch 
CG ; GD = CB : BD, Dies folgt aber sehr leicht, wenn 
man mit der bei (a) gefundenen Proportion AE ; AC = 
AD : AE die (XI. 22.) angegebene Veränderung vornimmt, 
und die Radien AF und AG vertauscht, in der dann erhal 
tenen Proportion CG : AE — GD ; AD die mittleren Glie 
der umstellt, und für das Verhältniß AE (oder AB) : AD 
das ihm gleiche CB : BD setzt. - 
§. 6. Zusa tz. 
Aus dem vorigen §. ergiebt sich, daß das Verhält 
niß von je zwei Linien, die von den Punkten C und D