Proport, im Kreise, Ähnlichkeit d. Polygone. 191 
('XI. 23.) angegebene Veränderung vor, so erhalt man DE 
— EC : CE = ED AE, was zu zeigen war. 
§.7. Lehrsatz. 
Wenn vier Linien eine richtige Proportion bilden, 
so ist das Rechteck unter den inneren Gliedern, dem 
Rechteck unter den äußeren gleich. 
Anleitung zum Beweise. ES sind die Linien a, b, c, d, 
(Fig. 138.) so gegeben, daß a : b = c : d. Es soll bewie 
sen werden, daß das Rechteck unter a und d, dem Rechteck 
unter b und c gleich ist. 
Man ziehe (Fig. 129.) zwei Linien, die sich unter einem be 
liebigen Winkel durchschneiden; von dem Durchschnittöpunkte 
E trage man auf der einen nach entgegengesetzten Seiten, 
die inneren Glieder der gegebenen Proportion ab, so daß 
EC = b / ED = c, und auf der anderen nach einer Seite 
hin das erste, daß also EA — a, dann beschreibe man durch 
die drei Punkte A, C und D einen Kreis (VI. 15.), und 
verlängere AE bis an die Periepherie desselben, bis B. 
Nun ist aus (§.6. des Abschn.) klar, daß AE : CE — ED ; EB, 
da aber auch a : b = c : d; so ttf EB = d (XII. 7. b.). 
Da nun nach (VI. Ayh. 7.) die Rechtecke AE x EB und 
CE x ED gleich sind, so ist die Richtigkeit des Satzes 
erwiesen. 
§.8. Zu s a H. 
Die Anwendung des vorigen Lehrsatzes auf eine 
stätige Proportion läßt sich aus dem vorigen §. herlei 
ten; doch kann auch unmittelbar bewiesen werden, daß 
das Quadrat des mittleren Gliedes dem Rechteck unter 
den äußeren gleich ist. 
Der unmittelbare Beweis ergiebt sich aus (I. des Abschn.) und 
(V. 22.) bezogen auf (Fig. 53,),