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Dreizehnter Abschnitt. 
§. 9. Lehrsatz. 
In einem Viereck, -essen Seiten Sehnen eines Krei 
ses sind, ist das Rechteck unter den beiden Diagonalen 
so groß, wie die Summe der beiden Rechtecke, die von 
je zwei Gegenseiten der Figur eingeschlossen werden. 
Anleitung zum Beweise. In den Kreis (Fig.iV.) ist 
das Viereck AB CD eingeschrieben. ES soll bewiesen wer 
den, daß AC X BD = AB x CD -f- AD X BC, 
Man lege an AD in A den Winkel DAE = CAB an, so 
erhält man die ähnlichen Dreiecke DBA und ABC, da 
auch die Gleichheit der Winkel ADD und ACB deutlich 
' ist (VI. 19.). Daraus ergiebt sich die Proportion: 
AD;DE = AC: CB. 
Außerdem sind aber auch die Dreiecke ALB und ADC ähn 
lich/ da der Winkel ABE ----- ACD (VI. 19.) und DAC ---- 
EAB, welche letzteren aus gleichen Stücken bestehen. Dar 
aus folgt die Proportion AB : BE = AC ; CI). 
Aus der ersten Proportion ergiebt sich ADxCB = DExAC 
(§, 7.), aus der zweiten AB x CD — BE x AC. 
Addire» wir, was auf jeder Seite des Gleichheitszeichens steht, 
so erhallen wir: 
AD X CB + AB X CD = DE X AC + BE x AC; 
oder, da sich die letzten beiden Rechtecke nach (V. 9.) vereini 
gen lassen, 
AB X CD + AD x CB = DB x AC; was zu erweisen war. 
§.10. Lehrsatz. 
Wenn man von einer Winkelspitze eines in einen 
Kreis eingeschriebenen Dreiecks einen Durchmesser und 
ein Loth auf die Gegenseite des Winkels zieht; so bil 
den die vier von diesem Punkte aus gezogenen Linien 
eine richtige Proportion, wenn man die Seiten des 
Dreiecks zu äußern, das Loth und den Durchmesser aber 
zu inneren Gliedern macht.