Proport. im Kreise, Ähnlichkeit d. Polygone. 193
Anleitung zum Beweise. In (Fig. läo.) ist von der
Spitze A des Dreiecks ABC, dessen Seiten Sehnen des
Kreises sind, der Durchmesser AD, und auf die Seite CB
das Loth AB gezogen. Es ist zu zeigen, daß AC : AD =
AE : AB.
Man ziehe die Hülfslinie DB, so ergiebt sich leicht die Ähn
lichkeit der Dreiecke DBA und CE A, weil der Winkel DBA
--- CEA (V. 18.), und BDA = BCA (VI. 19.); daraus
aber folgt die gedachte Proportion.
Der Satz bleibt richtig, wenn auch das Loth AE die Ver
längerung der Sehne CB träfe. Der Beweis lautet eben
so, wenn man die Zeichnung so macht, daß CB über 8
hinaus verlängert wird.
§.11. Lehrsatz.
'Wenn zwei Sehnen eines Kreises sich winkelrecht
durchschneiden, und man zeichnet ein Viereck in den Kreis,
zu welchem diese Sehnen die Diagonalen werden; so ist
a) die Summe der Quadrate von jeden zwei Gegen
seiten des Vierecks, b) die Summe der Quadrate aus
den vier Abschnitten der Diagonalen dem Quadrate des
Durchmessers gleich.
Anleitung zum Beweise. In (Kg. i4i.) schneiden sich
die Sehnen £B und CD rechtwinklig in E, und sind Dia
gonalen des Vierecks ACBD. Von A aus ist der Durch
messer AE gezogen. Es soll nun bewiesen werden, a) daß
AC 2 + BD 2 — CB 2 + AD 2 = AE 2 , und b) daß
AE 2 -f- EB 2 + CE 2 -+■ DE 2 ---- AE 2 .
Als Hülfslinien zum Beweise von (a) ziehe man FD und
EC; so ist nach (§. 10.) DA : AE — EA : AC, und da
auch Winkel ADE — AEC, so sind (XII. 15.) die Dreiecke
ADE und AEC ähnlich, folglich die Winkel DAF und
CAB gleich; daraus folgt aber, daß CB — DF (VI. 19.
VI.3,), Da nun AE 2 --- AD 2 + DF 2 , so ist auch AE 2
= AD 2 + CB 2 ,
Fischer'S eb. Geom. ^ N